Сходимость интеграла

[Ivan410]

Помогите найти значения параметра a, при которых сходится данный интеграл:

$$\int_{0}^{\infty} \frac {\ e ^{ax}} { \ (x-1)^a \ln(x)} dx$$

Не знаю с чего начать, может быть через признаки сравнения, однако не очень понимаю, как это делать на бесконечности.

[Terraniux]

Ivan410 в сообщении #852146 писал(а):

Помогите найти значения параметра a, при которых сходится данный интеграл:

$$\int_{0}^{\infty} \frac {\ e ^{ax}} { \ (x-1)^a \ln(x)} dx$$

Не знаю с чего начать, может быть через признаки сравнения, однако не очень понимаю, как это делать на бесконечности.

(Оффтоп)

Если это на $+\infty$, то только при $a<0$, т.к. можно рассмотреть такой его хвост $x>x_0$ при $x_0 \colon \dfrac{e^{ax}}{(x-1)^a\ln x}<\alpha^x \quad \forall x>x_0$ для некоторого $\alpha<-1$, поэтому, в силу сходимости $\int\limits_{0}^{+\infty}{\alpha^x}dx$, будет и сходимость исходного НИ. Если же $a\geqslant 0$, то НИ расходится ибо при $a>0$ его знакопостоянный положительный "хвост" не стремится к нулю, а при $a=0$ имеем расходящийся НИ $\int\limits_{0}^{+\infty}{\dfrac{1}{(x-1)\ln x}}dx$.
Так?
Upd. Еще особенность $x=1$. В ней необходимо использовать признак сравнения, считая $e^{ax}$ - как "почти константу", и учитывая $x-1 = \ln x + o(x-1)$, получаем, что $a<0$.

[Ivan410]

Terraniux в сообщении #852156 писал(а):

$x>x_0$ при $x_0 \colon \dfrac{e^{ax}}{(x-1)^a\ln x}<\alpha^x \quad \forall x>x_0$ для некоторого $\alpha<-1$

Можете поподробней объяснить этот шаг? Непонятно, как вы перешли к такому неравенству.

[Deggial]

Terraniux, замечание за полное решение учебной задачи

[Terraniux]

Ivan410 в сообщении #852172 писал(а):

Но ведь при a<0 интеграла от показательной функции не существует, как так?

(Оффтоп)

Извиняюсь, $0<\alpha<1$