Евклидово пространство - 2

[main.c]

Доказать, что если каждые два различных из $k$ векторов евклидова пространства $ V$ образуют между собой угол $\pi/3$ , то $k \leqslant \dim V$ .

Чем-то смахивает на соседнюю тему. Я так понимаю нам достаточно доказать, что если мы возьмём любые $ k = \dim V$ векторов, между которыми угол $\pi/3$, то они составляют базис данного пространства, так? Если это так, то она доказывается точно так же как предыдущая, с тем лишь различием, что скалярное произведение теперь положительное. Но перед этим я думаю надо доказать, что найдётся такое количество векторов, между которыми такой угол. В принципе это очевидно, но хотелось бы более строго это доказать.

[provincialka]

Почему базис? По-моему, здесь говорится, что в пространстве просто не может быть слишком много таких векторов.

[patzer2097]

можете попробовать доказать линейную независимость Ваших $k$ векторов с помощью ортогонализации Грама-Шмидта

[nnosipov]

Да тупо написать определитель Грама.

[main.c]

provincialka в сообщении #851796 писал(а):

Почему базис? По-моему, здесь говорится, что в пространстве просто не может быть слишком много таких векторов.

Ну да, Вы правы. Тут надо доказать, что не существует $dim V + 1$ вектор с данным свойством. Пусть $dim V = n$. Тогда предположим, что существует $n +1$ таких векторов. Составим из них нетривиальную ЛК:
$k_1e_1 + ... + k_{n+1}e_{n+1} = 0$. А вот дальше у меня снова никаких идей. Можно доказать, что среди коэффициентов этой ЛК обязательно есть как положительные, так и отрицательные числа. Но только это не нам ничего на первый взгляд не даёт.

-- 19.04.2014, 18:10 --

nnosipov в сообщении #851808 писал(а):

Да тупо написать определитель Грама.

Так нам нужно доказать, что они существуют, а не проверить их линейную зависимость.

[provincialka]

Нет, идея про базис неплохая, только нам фактически нужна линейная независимость.

[patzer2097]

main.c в сообщении #851811 писал(а):

Так нам нужно доказать, что они существуют, а не проверить их линейную зависимость.

Вам не нужно доказывать, что они существуют. Вам нужно доказать, что $k\leqslant \dim V$

[provincialka]

Вам надо доказать, что таких векторов не может быть слишком много. Независимых векторов тоже не может быть много. Но не факт, что причина в этом. Хотя трехмерный случай дает именно такую картину.

[patzer2097]

provincialka в сообщении #851818 писал(а):

Независимых векторов тоже не может быть много. Но не факт, что причина в этом.

именно в этом, nnosipov уже простое решение предложил

[main.c]

patzer2097 в сообщении #851823 писал(а):

provincialka в сообщении #851818 писал(а):

Независимых векторов тоже не может быть много. Но не факт, что причина в этом.

именно в этом, nnosipov уже простое решение предложил

Ну да, матрица Грама - это самое простое решение. А если задание теперь звучит так. Доказать, что если каждые два различных из $k$ векторов евклидова пространства $ V$ образуют между собой тупой угол, то $k \leqslant \dim V + 1$ . Тут уже матрицей Грама не обойдёшься.

[patzer2097]

main.c в сообщении #851850 писал(а):

А если задание теперь звучит так. Доказать, что если каждые два различных из $k$ векторов евклидова пространства $ V$ образуют между собой тупой угол, то $k \leqslant \dim V + 1$ .

ну Вы же эту задачу в соседней теме решили: если $\dim V=d$ и $e_1,\ldots,e_{d+2}$ - Ваши векторы, то $-e_{d+1}$ является линейной комбинацией $e_1,\ldots,e_d$ с неотрицательными коэффициентами

[provincialka]

patzer2097, а там определитель легко считается?

[patzer2097]

не знаю, насколько легко считается, но неравенство нулю проверяется легко
там же будет матрица с $1$ на диагонали и одинаковыми числами из $(0,1)$ в остальных местах (я могу, не ограничивая общности, считать, что длины векторов равны 1)

[nnosipov]

Определитель можно вычислить так: сначала вычтем 1-ю строку из всех остальных, затем прибавим к 1-му столбцу все остальные, и видно станет.