Определение скорости материальной точки.

[Katmandu]

В книге Батя "Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 2." (стр 11) сказано, что при определении ускорения мат. точки можно пользоваться методом суперпозиции.
$w = w_1 + w_2 + ... + w_n$,
где
$w_i = F_i/m$, $i = 1...n$

Но далее сказано, что при определении скорости материальной точки аналогичная суперпозиция не имеет места, т.е. скорость мат. точки не равно векторной сумме скоростей, которые имела бы эта точка при действии каждой из сил в отдельности.

Не ясно, что имеется в виду. И как так получается, что скорость мат. точки не является векторной суммой скоростей. Загадка...

[Pphantom]

Как известно, ускорение - производная скорости, т.е. $d \vec v/dt = \vec w$. Тогда, если в момент $t=0$ скорость равна $\vec v_0$, можно написать, что $\vec v(t) = \vec v_0 + \int\limits_0^t \vec w(t') \, dt' $.

Если попытаться воспользоваться принципом суперпозиции, то интеграл действительно превратится в сумму интегралов, а вот с первым слагаемым $\vec v_0$ возникнут проблемы - оно увеличится в $n$ раз, что несколько нелепо. Именно поэтому со скоростями так обращаться нельзя. Можно, если очень хочется, с изменениями скоростей, но пользы от этого немного.

[Katmandu]

То есть можно рассуждать так:

$$ \vec{w}(t) = \vec{w}_1(t) + \vec{w}_2(t) + ... + \vec{w}_n(t)$$

$$ \int_{0}^{t} \vec{w}(t') dt' = \int_{0}^{t}\vec{w}_1(t')dt' + \int_{0}^{t}\vec{w}_2(t')dt' + ... + \int_{0}^{t}\vec{w}_n(t')dt' $$

$$ \vec{v}(t) - \vec{v}_0(t) = \vec{v}_1(t) - \vec{v}_0(t) +\vec{v}_1(t) - \vec{v}_0(t) + ... + \vec{v}_n(t) - \vec{v}_0(t) $$

Но ведь можно и с другой стороны посмотреть

$$ \vec{v}(t) - \vec{v}_0(t) = \int_{0}^{t}\vec{w}_1(t')dt' + \int_{0}^{t}\vec{w}_2(t')dt' + ... + \int_{0}^{t}\vec{w}_n(t')dt' $$

$$ \vec{v}(t) - \vec{v}_0(t) = = \vec{w}_1(t)*t +\vec{w}_1(t)*t + ... + \vec{w}_n(t)*t $$

[Pphantom]

Первые две строчки выкладок правильны, а следующая - нет. Там должны появляться некоторые $\vec v_0_i$, которые в сумме равны $\vec v_0$.

[Munin]

Pphantom в сообщении #851305 писал(а):

Первые две строчки выкладок правильны, а следующая - нет. Там должны появляться некоторые $\vec v_0_i$, которые в сумме равны $\vec v_0$.

Почему? Назовём $\vec{v}_i(t)$ скорость, которую тело приобрело бы, если бы двигалось в начальный момент времени с $\vec{v}_0$ (конечно, не от $(t)$), а потом на интервале времени $[0,t]$ - только под действием $i$-й силы. Тогда формула верна.

При переходе в систему отсчёта $\vec{v}_0$ будет $\vec{v}_i^{\,}'(t)=\vec{v}_i(t)-\vec{v}_0,$ так что в правой части сократится ровно столько слагаемых $\vec{v}_0,$ сколько нужно.

[Pphantom]

Munin в сообщении #851356 писал(а):

Почему? Назовём $\vec{v}_i(t)$ скорость, которую тело приобрело бы, если бы двигалось в начальный момент времени с $\vec{v}_0$ (конечно, не от $(t)$), а потом на интервале времени $[0,t]$ - только под действием $i$-й силы. Тогда формула верна.

Потому что я предельно криво выразился. Естественно, формула верна, но как раз из нее и следует, что сумма скоростей от отдельных ускорений не равна общей - слева одна $\vec{v}_i(t)$, а справа их $n$ штук.

[Munin]

Katmandu в сообщении #851302 писал(а):

$$ \vec{v}(t) - \vec{v}_0(t) = = \vec{w}_1(t)*t +\vec{w}_1(t)*t + ... + \vec{w}_n(t)*t $$

У нас на форуме положено писать (хотя сама формула и неверна)

$$ \vec{v}(t) - \vec{v}_0(t) \equiv \vec{w}_1(t)t +\vec{w}_1(t)t + \ldots + \vec{w}_n(t)t $$

или

$$ \vec{v}(t) - \vec{v}_0(t) \equiv \vec{w}_1(t)\cdot t +\vec{w}_1(t)\cdot t + \ldots + \vec{w}_n(t)\cdot t.$$

За "звёздочки вместо умножения" можете даже схлопотать от модераторов (тему перемещают в "Карантин", и обсуждение в ней прекращается, пока вы всё не исправите).

[Katmandu]

Почему эта формула является неверной ?

[Munin]

Потому что ускорения переменны по времени. Поэтому правильно их интегрировать, и неправильно - просто умножать на время.

[type2b]

Здесь необходимо заметить следующее.

Если явно заданы несколько сил $\vec{F}_i(t)$, и тело стартует с нулевой начальной скоростью, то через время $T$ оно действительно будет иметь скорость, равную векторной сумме скоростей, которые оно имело бы, если бы действовала каждая сила $\vec{F}_i(t)$ от $0$ до $T$ по отдельности -- при заданной зависимости сил от времени! Но это утверждение на практике довольно бесполезно, поскольку силы обычно зависят от состояния тела в данный момент (от положения, скорости, а то и от ускорения), и явные функции $\vec{F}_i(t)$ для каждой силы можно найти, лишь решив уравнения движения для данного движения под действием всех этих сил вместе взятых.

[Munin]

Мдя, верно, большой прокол.

[Oleg Zubelevich]

какие-то странные пляски с бубном вокруг стандартного принципа суперпозиции

[Munin]

Не слишком стандартного, как оказалось :-)

[Oleg Zubelevich]

(2.2) -- это $m\overline a=\overline F$

а то, что написано у Батя лишь затемняет существо дела

[arseniiv]

Извините меня, а зачем вообще проговаривать принцип суперпозиции для скоростей? Вот есть такое для сил, а всё остальное само выводится, и ненужное не выводится. Слишком частные вопросы по поводу скоростей сами не возникнут (или возникнут? Ну тогда берём интеграл и видим, что в общем случае ничего такого же интересного). Что здесь не так?