Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

[Linkl]

$(x+y)^4=6xy^2$ Я сделал полярную замену, из которой получилось , что
$0 \leqslant r \leqslant 6\cos^2(\varphi)\sin^4(\varphi)$ Из этого следует что на $\varphi$ ограничений быть не должно , следовательно берем $0 \leqslant\varphi \leqslant 2\pi$ Но из чертежа видно, что мы ищем площадь петли , которая находится в первом квадранте, соответственно $0 \leqslant\varphi \leqslant \pi/2$ Какое ограничение правильно?

[gris]

А можно по-подробнее про замену? Чего-то в ней не видно бесконечного возрастания радиуса.

[Linkl]

$x=r\cos^2(\varphi),y=r\sin^2(\varphi)$

[gris]

А это какая-то не полярная замена. Я бы уточнил насчёт полярной.

[Linkl]

Через полярную , выходит ограничение из косинуса, следовательно $-\pi/2\leqslant\varphi\leqslant \pi/2$ но через обычную полярную получается довольно страшный интеграл

[gris]

Ну раз мы знаем, что петля только в первом квадранте, то можно и эту систему применить. Тогда естественно жёсткое ограничение $0\leqslant\varphi\leqslant\pi/2$ и про якобиан не забудьте.