Канонический вид оператора

[SlayZar]

Добрый день!
Требуется доказать, что оператор является ортогональным и найти канонический вид, угол и ось поворота этого оператора, заданного матрицей:

$$S =\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\\ \end{pmatrix}$$

Начал с того, что доказал, что оператор ортогональный
$S^\(-1\) = S^T = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\\ \end{pmatrix}$.
Из того, что $S^\(-1\) = S^T $ следует, что данный оператор ортогонален.
Теперь, чтобы найти канонический вид, найдём собственные значения:
$det(S-\lambda E)= det\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}-\lambda\ & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}-\lambda&\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}-\lambda\\\ \end{pmatrix}$

$det(S-\lambda E)=-\lambda^3-\lambda^2-\sqrt{2}\lambda^2-\sqrt{2}\lambda-\lambda-1=-(\lambda+1)(\lambda^2+\sqrt{2}\lambda+1)$

Получаем собственные значения $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$, $\lambda_3=\frac{-i-1}{\sqrt{2}}$.

Верно ли, что канонический вид оператора будет выглядеть
$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0& \lambda_2&0\\ 0& 0& \lambda_3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0& \frac{i-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0& 0& \frac{-i-1}{\sqrt{2}}\\ \end{pmatrix}$
или это верно только для самосопряженных операторов?
И подскажите, пожалуйста, как найти угол и ось поворота этого оператора.

[ewert]

SlayZar в сообщении #851444 писал(а):

Верно ли, что канонический вид оператора будет выглядеть

Верно. Это верно вообще для любых диагонализуемых операторов -- и, как частный случай таковых, для ортогональных.

SlayZar в сообщении #851444 писал(а):

как найти угол и ось поворота этого оператора.

Ось (в смысле её направляющий вектор) отвечает единичному с.ч. Пара комплексных задаёт при этом угол поворота (ну и, не исключено, плюс отражение, но не в этом случае).

[SlayZar]

ewert в сообщении #851450 писал(а):

Ось (в смысле её направляющий вектор) отвечает единичному с.ч. Пара комплексных задаёт при этом угол поворота (ну и, не исключено, плюс отражение, но не в этом случае).

То есть ось равна собственному вектору отвечающему $\lambda=-1$
А угол поворота равен углу между собственными векторами, отвечающими $\lambda=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$ и $\lambda=\frac{-i-1}{\sqrt{2}}$ ?

ewert в сообщении #851450 писал(а):

SlayZar в сообщении #851444 писал(а):

Верно ли, что канонический вид оператора будет выглядеть

Верно. Это верно вообще для любых диагонализуемых операторов -- и, как частный случай таковых, для ортогональных.

То есть например для унитарного оператора канонический вид выглядел бы также?

[patzer2097]

SlayZar в сообщении #851444 писал(а):

Верно ли, что канонический вид оператора будет выглядеть

неверно! прочитайте здесь, что называется каноническим видом
там же Вы узнаете про угол поворота
а осью поворота называется неподвижная прямая. подумайте, какое будет свойство у направляющих векторов этой прямой

[ewert]

SlayZar в сообщении #851453 писал(а):

То есть например для унитарного оператора канонический вид выглядел бы также?

А в вещественном случае унитарный -- ровно и есть ортогональный. Вообще разница между этими понятиями если и имеет смысл, то лишь для матриц, а не для операторов.

SlayZar в сообщении #851453 писал(а):

То есть ось равна собственному вектору отвечающему $\lambda=-1$

Ну я не следил, плюс там или минус. У вас там то плюс, то минус. В любом случае требуется именно этот собственный вектор (который, естественно, "равным оси" назвать никак нельзя).

[SlayZar]

ewert в сообщении #851462 писал(а):

Ну я не следил, плюс там или минус. У вас там то плюс, то минус.

Уже исправил. На самом деле $\lambda=-1$

Нашёл собственные вектора для $\lambda=-1$ это $v_1=(0,1,1)$ - это направляющий вектор оси поворота?!

А два другие вектора $v_2=(i\sqrt{2}, -1, 1), v_3=(-i\sqrt{2}, -1, 1)$ образуют угол поворота, который равен $\alpha=arccos(\frac{<v_2><v_3>}{|v_2||v_3|})$
Это правильно?

[patzer2097]

SlayZar в сообщении #851464 писал(а):

Это правильно?

прочитайте текст по моей ссылке выше и не пишите ерунду

в частности, когда Вы пишете про "ось поворота", Вы должны понимать, о каком повороте Вы говорите. я например не понимаю, потому что Ваш оператор - это не поворот

[SlayZar]

patzer2097 в сообщении #851466 писал(а):

SlayZar в сообщении #851464 писал(а):

Это правильно?

прочитайте текст по моей ссылке выше

Проверил тем методом нахождение канонического вида: B(канонич. вид) $= A^TSA$
где A - матрица из собственных векторов
$A= \begin{pmatrix} 0 & i\sqrt{2} & -i\sqrt{2} \\ 1& -1&-1\\ 1& 1& 1\\ \end{pmatrix}$

$B= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ i\sqrt{2}& -1&1\\ -i\sqrt{2}& -1& 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i\sqrt{2} & -i\sqrt{2} \\ 1& -1&-1\\ 1& 1& 1\\ \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0& 0& (-2-2i)\sqrt{2}\\ 0& (-2+2i)\sqrt{2}& 0\\ \end{pmatrix} $

Ответ несколько другой получился.
А с осями и углом не совсем понятно... Там на английском и не удалось понять, как их получить... Помогите, пожалуйста...

[patzer2097]

ну Ваш канонический вид должен быть

$$A= \begin{pmatrix}\pm1&0&0\\0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\0&\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$$

для какого-то $\alpha$ в каком-то ортонормированном базисе, обратите внимание - все числа тут вещественные и новый базис должен быть вещественный

если на месте $\pm1$ стоит $1$, то Ваш оператор - это поворот на угол $\alpha$ вокруг неподвижной прямой (Вы уже вроде разобрались какой)

Вам осталось найти базис, в котором оператор примет такой канонический вид, попробуйте сделать это, используя Ваш комплексный базис из собственных векторов; найдите сначала какие-нибудь вещественные векторы, порождающие пространство, натянутое на комплексные собственные векторы

[SlayZar]

$\lambda_2=\frac{-1+i}{\sqrt{2}}$ и $\lambda_3=\frac{-1-i}{\sqrt{2}}$
Возьмём найденный вектор для $v_2$ $v=(i\sqrt{2}, -1, 1)$

Найдем теперь $Re\ v= (0,-1,1)$ и $Im\ v=(\sqrt{2},0,0)$
Ортоганализуем полученные вектора и найдём оставшиеся векторы нового базиса
$v_2=(0,-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $v_3=(1,0,0)$
Значит наш канонический вид можно будет найти по формуле $A=Q^\(-1\)SQ$ где $Q=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1& -\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\ 1& \frac{\sqrt{2}}{2}& 0\\ \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0& -\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{pmatrix}$

То есть угол поворота равен $\alpha=\frac{3\pi}{4}$

Правильно ли это?

patzer2097 в сообщении #851496 писал(а):

если на месте $\pm1$ стоит $1$, то Ваш оператор - это поворот на угол $\alpha$ вокруг неподвижной прямой (Вы уже вроде разобрались какой)

А если -1? Какая тогда ось будет?

[patzer2097]

да, теперь с базисом и каноническим видом Вы, видимо, разобрались, с Вашим текстом вроде бы все хорошо

но вот такие вопросы

SlayZar в сообщении #851546 писал(а):

А если -1? Какая тогда ось будет?

вызывают изумление. ось чего? об оси говорят, когда отображение является поворотом; а если оно таковым (как в Вашем случае) не является, то уточняют, что имеют в виду

[SlayZar]

Да, точно, но дело в том, что в задании четко прописано "найти угол и ось поворота этого оператора"... И что тогда с этим делать?

[patzer2097]

SlayZar в сообщении #851557 писал(а):

И что тогда с этим делать?

понять
(1) как действует Ваш оператор
(2) что за поворот имеется в виду
(3) найти ось этого поворота

чтобы понять пункт (1), подумайте, что делал бы Ваш оператор, если я бы умножил его матрицу на $-E$. А после этого, как действует оператор с матрицей $-E$.

[SlayZar]

patzer2097 в сообщении #851559 писал(а):

чтобы понять пункт (1), подумайте, что делал бы Ваш оператор, если я бы умножил его матрицу на $-E$. А после этого, как действует оператор с матрицей $-E$.

Тогда бы наш оператор был бы поворотом на угол $-\frac{\pi}{4}$, т.е. мы бы получили оператор поворота...

[patzer2097]

правильно! а что делает $-E$?