Неопред. интеграл

[Ssheh]

Здравствуйте, помогите пожалуйста с заменой для интеграла:
$\int \frac{\sin^2 x\cos x}{\sin x+\cos x}$
Попробовал выразить все через тангенс, но получилось, что сделал все только сложнее, видимо тут нужна замена, попробовал $U=\sin x + \cos x$, но это явно не то, в общем, прошу пожалуйста помочь найти замену.

[Dan B-Yallay]

Универсальная тргионометрическая подстановка, а затем разложение на дроби. Муторно но....

[RIP]

Можно попробовать замену $x=y-\dfrac\pi4$, чтобы в знаменателе вместо суммы появился просто синус. С числителем, конечно, придётся немного повозиться, а затем с возникающими интегралами, так что не уверен, что этот способ проще.

(Оффтоп)

WolframAlpha говорит, что интеграл очень простой. Можно попробовать поплясать от ответа, чтобы понять какие преобразования нужно проделать с интегралом, но это неспортивно.

[ewert]

RIP в сообщении #851129 писал(а):

С числителем, конечно, придётся немного повозиться, а затем с возникающими интегралами,

Ну, там получится что-то типа $\int(1+\ctg t - 2\cos t(\sin t+\cos t))dt=\int(\ctg t - \sin 2t-\cos 2t)dt$ (с точностью до двоек). Совсем просто, и что-то не вижу, как это можно существенно упростить.

-- Пт апр 18, 2014 13:55:59 --

Dan B-Yallay в сообщении #851113 писал(а):

Универсальная тргионометрическая подстановка,

Нет, тогда уж и впрямь просто тангенс -- интеграл вполне удовлетворяет соотв. требованиям. Интеграл получится лишь чуть-чуть устрашающим, но если сначала провести в нём интегрирование по частям и лишь потом разложение на простейшие, то всё окажется сравнительно безобидным.

-- Пт апр 18, 2014 14:17:38 --

А, можно ещё так:

$$=\dfrac12\int\dfrac{\sin x((\sin x+\cos x)^2-1)}{\sin x+\cos x}dx=\dfrac12\int\left(\sin^2x+\sin x\,\cos x-\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\right)dx=$$

$$=\dfrac12\int\left(\sin^2x-\dfrac12+\sin x\,\cos x+\dfrac{\cos x-\sin x}{2(\sin x+\cos x)}\right)dx.$$

С примерно тем же эффектом.

[matidiot]

Dan B-Yallay в сообщении #851113 писал(а):

Универсальная тргионометрическая подстановка, а затем разложение на дроби. Муторно но....

Что тут муторного? Здесь универсальная тригонометрическая подстановка естественно приводит к интегралу $\int \frac {t^2dx}{(t^2+1)^2(t+1)}$ в ответе всего три слагаемых.

[ewert]

matidiot в сообщении #851293 писал(а):

Здесь универсальная тригонометрическая подстановка естественно приводит к интегралу $\int \frac {t^2dx}{(t^2+1)^2(t+1)}$

Не универсальная, а именно тангенс.