делимость

[rightways]

Найдите все $m,n,k\in N$ для которых $(n^2-n+1)^k$ делится на $(n^m+1)$ .

[ИСН]

Застолблю банальную часть ответа: k и n - любые, m=1 или 3.

[ИСН]

Чёрт, нет, не любые. n специальное, k любое начиная откуда-то.

[ИСН]

$n=3^i-1$,
причём
$k\ge i,\,m=1$,
или
$k>i,\,m=3$
- так, что ли, выходит? Сейчас ещё подумаю.

[Sonic86]

Я немного добавлю:
$n^m+1 | (n^2-n+1)^k, n^m+1>1\Rightarrow$
$\gcd(n^m+1, (n^2-n+1)^k)>1\Leftrightarrow$
$d=\gcd(n^m+1, n^2-n+1)>1$,
$n^2-n+1|n^3+1\Rightarrow$
$d=\gcd(n^m+1, n^2-n+1)=\gcd(-n^{m-3}+1, n^2-n+1)=...$
$d=\gcd((-1)^{[m/3]}n^{m\bmod 3}+1, n^2-n+1)$
Разберем все случаи $m=6q+r, 0\leqslant r<6$:
$m=6q+0 \Rightarrow d=\gcd(2, n^2-n+1)=1$ - невозможно.
$m=6q+1 \Rightarrow d=\gcd(n+1, n^2-n+1)=\gcd(n+1, 3)>1$ при $n=3u-1$
$m=6q+2 \Rightarrow d=\gcd(n^2+1, n^2-n+1)=\gcd(n^2+1,n)=1$ - невозможно.
$m=6q+3 \Rightarrow d=\gcd(0, n^2-n+1)>1$ всегда при $n>1$
$m=6q+4 \Rightarrow d=\gcd(n-1, n^2-n+1)=\gcd(n-1, 1)=1$ - невозможно.
$m=6q+5 \Rightarrow d=\gcd(n^2-1, n^2-n+1)=$ $\gcd(n^2-1, n-2)=\gcd(3,n-2)>1$ при $n=3u-1$
Таким образом, $m$ всегда нечетно.

$m$ нечетно $\Rightarrow n+1|n^m+1\Rightarrow n+1|(n^2-n+1)^k\Rightarrow n+1|3^k\Rightarrow n=3^t-1, 1\leqslant t\leqslant k$