Системка пяти уравнений

[photon]

Помогите найти решения системы относительно неизвестных функций $x,y,u,v,w$ (интересуют только положительные или равные нулю действительные корни) в зависимости от параметров $z, \lambda_a, \lambda_b$ (можно с помощью мат. пакетов).

С Mathematica (возможно ввиду не самого высокого уровня ее знания) одолеть не удалось.

Потом пробовал найти корни, используя solve() для каких-нибудь фиксированных значений параметров $z=4, \lambda_b=0.5, \lambda_a=0.5$ в MatLAB, но он тоже призадумался настолько, что ждать мне надоело даже для одного набора параметров (а надо происследовать точек побольше).

Собственно, система:


$ \left\{ \begin{array}{l} 0=-\lambda_b u + \lambda_a (v+w),\\ 0=-y+\lambda_b u,\\ 0=-\frac{\lambda_a}{z}v-\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{v(v+w)}{1-x-y}-\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{vu}{x}+u+\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{(1-x-y-v-w)(v+w)}{1-x-y},\\ 0=-\frac{\lambda_a}{z}w-\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{w(v+w)}{1-x-y}-w+\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{vu}{x}+y-u-w,\\ 0=-u-\frac{\lambda_b}{z}u-\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{u^2}{x}+\frac{\lambda_a}{z}w+\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{w(v+w)}{1-x-y}+\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{u(x-u-v)}{x} \end{array} \right. $

[LynxGAV]

photon, а что значит в последнем уравнении $u2$? квадрат, полагаю?

Добавлено спустя 1 час 27 минут 14 секунд:

Предполагая, что $u2=u^2$, я делала так.

1. из второго уравнения находим $u=u(y)$,
2. из первого уравнения, используя 1, находим $v=v(w,y)$,
3. из пятого уравнения, используя 1 и 2, находим $w=w(x,y)$,
4. из третьего уравнения, используя 1, 2, 3, находим два $x=x(y)$ (которые являются корнями квадратного уравнения).

5. по идее теперь надо подставить 1, 2, 3, 4 в оставшееся четвертое уравнение и получится уравнение для $y$, решая которое, находим конечный ответ. Только этого у меня не получилось, потому как $x$, будучи корнем квадратного уравнения, под корнем содержит $y$ и $y^2$ и следовательно уравнение для самого $y$ получается очень корявым и Mathematica его ни за что не решит. Тут нужен какой-то трюк, которого я не вижу.

[незваный гость]

1) $ u = v = w = y = 0$ — решение при любых значениях $x$

2) После первых трёх выражений переменных, предложенных LynxGAV, и подстановки их во второе и третье уравнение эти (оставшиеся) уравнения можно раpделить на $y$. Получится система, которая уже решается однозначно.

3) Остаётся решить эту пару уравнений. Она совместна (по $x$) если результант равен 0. Получаем многочлен от $y$ 6 степени. Три его корня — 0, ещё один 1. И остаётся квадратное уравнение .

4) $y = 0$ мы уже разобрали (случай 1). $y = 1$ имеет два варианта (а) $x = 0$ — нам не интересен, поскольку надо делить на $1-x-y$ и (б) $x = \frac{\lambda_a - \z \lambda_a+\lambda_b - z\lambda_b}{z \lambda_a}$, которое появляется при достаточно сложном условии на параметры $\lambda_a, \lambda_b, z$, делающем систему совместной. Некоторые случаи: $z = 1$, $ \lambda_a + \lambda_b = 0$, + длинный полином.

5) Ну и хвост: квадратный полином от $y$ (109 слагаемых).

Всё это мгновенно считается на Mathematica (5.0), но длина выкладок не очень вдохновляет. Могу прислать notebook почтой (адрес в ЛС)

P.S. И всё вышесказанное — если только нигде при наборе системы не напутал.

P.P.S. Вообще, случаи $z = 1$ и $\lambda_a = 0$ надо, похоже рассматривать отдельно. А потом и другие специальные случаи могут поползти…

[LynxGAV]

незваный гость,

В Вашем сообщении нигде не профигурировало четвертое, по счету, уравнение, или подразумевается, что оно включено в

Цитата:

Остаётся решить эту пару уравнений.

?

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

четвертое, по счету, у

Это у меня с арифметикой проблемы. Пункт (2) следует читать «после подстановки в третье и четвертое уравнение»

~~~

Пара (непринципиальных) замечаний:

1) Я понимаю, что $\lambda_a$ и $\lambda_b$ идут из задачи. Но для форума и расчётов их проще было бы обозначить $a$ и $b$.

2) В пункте (3) мы имеем после упрощений два полинома, $eq3$ и $eq4$, второй и третьей степени по $x$ соответственно. Можно разделить второй на первый, получим $eq4 = eq3 \times p + q$. Поскольку корни должны удовлетворять оба уравнения, имеем $q = 0$, линейное по $x$ (плюс куча исключений, когда $eq3$ вырождается в линейное по $x$, вырождается вовсе…)

3) У меня есть подозрение, что если отдельно разобрать случай $y = 0$, и потом переписать уравнения в переменных, поделённых на $y$ (т.е., введя $x1 = x/y$, $u1 = u/y$), то пакеты начнут его решать с молодецким посвистом. Но, если решать не при конкретных значениях параметра, Mathematica будет терять частные случаи (скажем, в уравнении $a x = a$ будет указан только корень $x=1$, $a = 0 \forall x$ будет пропущено).

[LynxGAV]

незваный гость, а есть ли какой-то общий рецепт для решения подобных систем (с помощью Mathematica)?

[незваный гость]

Ну что тут сказать… Общий рецепт для чего? Для математики (как теории)? В целом да, есть. Формально вся игра сводится к поочерёдному исключению переменных, возможно за счёт увеличения степени полиномов. Можно использовать результанты, можно идти по пути вычисления остатков и наибольшего общего делителя — сути это не поменяет.

Это здорово, но как показывает практика, при системе чуть побольше современный комп уже не справляется. Особенно, когда коэффициенты не числа, а параметры. Вот и приходится крутится, выбирать как переобозначить параметры, как заменить переменные, чтобы выражения стали покомпактнее. Скажем, задача о построении треугольника по трём биссектрисам Mathematica в лоб не решает. А покрутившись, получить уравнение можно. По-моему, 10 порядка, или что-то в таком духе. В общем, место подвигу есть всегда. Как и необходимость/возможность такое уравнение проанализировать.

[Zai]

photon писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} 0=-\lambda_b u + \lambda_a (v+w),\\ 0=-y+\lambda_b u,\\ 0=-\frac{\lambda_a}{z}v-\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{v(v+w)}{1-x-y}-\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{vu}{x}+u+\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{(1-x-y-v-w)(v+w)}{1-x-y},\\ 0=-\frac{\lambda_a}{z}w-\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{w(v+w)}{1-x-y}-w+\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{vu}{x}+y-u-w,\\ 0=-u-\frac{\lambda_b}{z}u-\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{u^2}{x}+\frac{\lambda_a}{z}w+\frac{\lambda_a}{z}(z-1)\frac{w(v+w)}{1-x-y}+\frac{\lambda_b}{z}(z-1)\frac{u(x-u-v)}{x} \end{array} \right. $

Данную систему вначале проще порешать относительно $ \lambda_a, \lambda_b, u,v,w
Параметрами будут $x,y,z

[LynxGAV]

Zai писал(а):

Данную систему вначале проще порешать относительно $ \lambda_a, \lambda_b, u,v,w
Параметрами будут $x,y,z

Нет слов. Вы всегда выбираете переменные, относительно которых проще порешать?

[photon]

Всем спасибо, будем крутить

[LynxGAV]

незваный гость писал(а):

Это здорово, но как показывает практика, при системе чуть побольше современный комп уже не справляется. Особенно, когда коэффициенты не числа, а параметры. Вот и приходится крутится, выбирать как переобозначить параметры, как заменить переменные, чтобы выражения стали покомпактнее.

Ваш пример не радует. У меня как раз есть система нелинейных уравнений относительно 10 переменных. Вот бы вопрос о её решении отвалился из других соображений .

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

Нет слов. Вы всегда выбираете переменные, относительно которых проще порешать?

Зря Вы так. Zai честно сказал — вначале. Получив $\lambda_a$ и $\lambda_b$ как функции $x$, $y$, $z$ мы фактически уменьшим размер системы до двух уравнений. И кто знает? Может быть, эту систему решать окажется проще. Иногда оказывается проще.

[photon]

Совместными усилиями одолели - всем спасибо, но просьба не расходиться - на очереди обещанные LynxGAV 10 уравнений

[CyberCraft]

Как вариант...
Систему из любого числа уравнений 5-10-20-... для одной комбинации корней, можно решить приближенно, на основе генетического алгоритма за конечное время (примерно 1 или несколько секунд).

[ГАЗ-67]

Систему из 10-ти уравнений в студию .
Намалевал программёшку решения систем методом Ньютона .
Интересно опробовать .
При решении системы предложенной PHOTON'ом в лоб матрица
частных производных после нескольких итераций становится вырожденной .
Ждём'с.