Жорданова форма большой матрицы

[MestnyBomzh]

$$\begin{pmatrix} -7 & 7 & 1& 12& -12 &-1 \\ 1& 0&4 & -1 & -1 & -2\\ -6& -2& -11& 6& 1 & 7\\ -5& 5& -1& 9& -5 & 0\\ 1& -1& 0& -2& 5& 0\\ -11& 0& -12& 12& -6& 9\\ \end{pmatrix}$$

Проблема, собственно, в размерах матрицы. Составляем характерестическое уравнение:

$$\det\begin{pmatrix} -7- \lambda & 7 & 1& 12& -12 &-1 \\ 1& 0- \lambda&4 & -1 & -1 & -2\\ -6& -2& -11- \lambda& 6& 1 & 7\\ -5& 5& -1& 9- \lambda& -5 & 0\\ 1& -1& 0& -2& 5- \lambda& 0\\ -11& 0& -12& 12& -6& 9- \lambda\\ \end{pmatrix}$$

Видимо, матрицу нужно каким-то образом привести к ступенчатому виду, но мешается лямбда. Помогите, с чего начать?

[ИСН]

Задачи такого размера (если в них нет какой-нибудь скрытой симметрии) обычно не делаются на руках.

[provincialka]

Согласна с ИСН. Но если уж очень хочется - переставьте строки так, чтобы "лямбды" шли по побочной диагонали. Они и не будут мешать.

[alcoholist]

два вещественных с.з., две пары комплексно-сопряженных

[ewert]

(Оффтоп)

это что, учебная задачка?... -- если так, то это откровенный идиотизм

[MestnyBomzh]

Печально. А если я "угодаю" эти собственные числа, то как найти их кратность?

[svv]

Если Вам известно собственное число $\lambda$, запишите матрицу $B=A-\lambda E$. Далее составьте табличку рангов степеней $B$, т.е.
$r_0=\operatorname{rang} B^0=\operatorname{rang} E_6=6$
$r_1=\operatorname{rang} B^1$
$r_2=\operatorname{rang} B^2$
$r_3=\operatorname{rang} B^3$
...
Этот процесс надо прервать, как только очередной ранг получится такой же, как предыдущий: $r_{i+1}=r_i=c$
Тогда $n-c$ будет алгебраической кратностью $\lambda$.
Табличку не выбрасывайте: пригодится при составлении жордановой формы.

[MestnyBomzh]

svv
$n$, это количество строк(столбцов)?

-- 16.04.2014, 20:43 --

Возникнет проблема с нахождением ранга, мда...

[svv]

Только с помощью компьютера.

[MestnyBomzh]

Печально, но все равно, спасибо!

[svv]

Я бы рекомендовал все шаги проделывать в WolframAlpha и записывать результаты в тетрадку. Шагов будет достаточно много для того, чтобы процесс выглядел как выполненный вручную.

Вообще, пора писать статью под названием:
«Как с помощью Wolfram|Alpha имитировать честное выполнение заданий по линейной алгебре»

[patzer2097]

некоторые домашние задания полезнее не делать, чем делать
а иные могут оказаться откровенно вредны

[nnosipov]

Не вижу вреда от этого задания, если в решении изначально предполагалось использование какой-нибудь системы компьютерной алгебры для рутинных действий типа отыскания ранга матрицы, умножения матриц и т.п. Разумеется, целью такого задания не является получения ответа, речь идёт о том, чтобы понять, как работает сам алгоритм. Ничем не хуже стандартных задачек (из Проскурякова, например) на эту тему, где предполагается ручной счёт.

[svv]

В Вольфраме это так.

Ниже вместо символа A надо будет вставлять такой код:
{{-7,7,1,12,-12,-1},{1,0,4,-1,-1,-2},{-6,-2,-11,6,1,7},{-5,5,-1,9,-5,0},{1,-1,0,-2,5,0},{-11,0,-12,12,-6,9}}

С помощью команды
eigenvalues A
ещё раз убеждаемся, что собственные значения $-2,3,4$.

Далее работаем с собственным значением $\lambda=-2$. Находим $B=A-\lambda E$:
A-(-2)*IdentityMatrix[6]
Нажимаем на значок в виде буквы $\textsf A$ с подсказкой Copyable Plaintext, копируем результат (текстовую строку) из WolframAlpha в текстовый редактор для будущего использования:
{{-5, 7, 1, 12, -12, -1}, {1, 2, 4, -1, -1, -2}, {-6, -2, -9, 6, 1, 7}, {-5, 5, -1, 11, -5, 0}, {1, -1, 0, -2, 7, 0}, {-11, 0, -12, 12, -6, 11}}
Ниже эта строка кратко обозначается B.

Найти ранг $B$ можно так:
rank B
WolframAlpha выдает результат: 5.

Аналогично одной командой
rank B^2
находится $B^2$ и $\operatorname{rank} B^2=4$. И так далее.