Теорема о неявной функции

[kp9r4d]

В Зориче есть цикл задач, при помощи которых читателю предлагается вывести теорему о неявной функции самостоятельно. Приведу все пункты (застопорился на одном из них)

А)
Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции, и пусть

$$F_y^i (x,y) = (\frac{\partial F^i}{\partial y^i}, ..., \frac{\partial F^i}{\partial y^n}) (x,y)$$

— $i$-ая строка матрицы $F_y^i(x,y)$.
Покажите, что определитель матрицы составленной из векторов $F_y^i(x_i,y_i)$ отличен от нуля, если все его точки $(x_i,y_i)$ $(i=1,...n)$ лежат в некоторой достаточно малой окрестности $U = I_x^m \times I_y^n$ точки $(x_0,y_0)$.

Это моментально следует из того факта, что определитель — непрерывная функция от своих элементов, а в силу условий теоремы $F'_y \neq 0$.
B)
Покажите, что если при $x \in I_x^m$ найдутся точки $y_1,y_2 \in I_y^n$ такие, что $F(x,y_1) = 0$ и $F(x,y_2) = 0$, то для каждого
$i \in \{1,...,n\}$ найдется точка $(x,y_i)$, лежащая на отрезке с концами $(x,y_1)$, $(x,y_2)$, что

$$F^i_y(x,y_i)(y_2-y_1) = 0 (i=1,...,n)$$

Покажите, что отсюда следует, что $y_1 = y_2$, т.е. если неявная функция $f : I_x^m \to I_y^n$ существует, то она единственна.

Первое следует из теоремы Лагранжа, второе из предыдущего пункта.

С)
Покажите, что если шар $B(y_0,r)$ лежит в $I_y^n$, то $F(x_0,y) \neq 0$ при $|y-y_0| = r > 0$.

Если $F(x_0,y) = 0$, то учитывая что $F(x_0,y_0) = 0$ то по второму пункту получим, что $y=y_0$, что противоречит тому, что $|y-y_0|>0$.

D)
Функция $|F(x_0,y)|^2$ непрерывна и имеет положительный минимум $\mu$ на сфере $|y-y_0|=r$.

Следует из того что сфера компакт (а значит непрерывная функция на ней достигает своего минимума), квадрат вещественного числа неотрицателен и в силу предыдущего пункта не может быть нулём.

E)
Существует $\delta > 0$ такое, что при $|x-x_0| < \delta$

$$|F(x,y)|^2 \geqslant \frac{1}{2} \mu, \text{если} |y-y_0|=r$$

$$|F(x,y)|^2 < \frac{1}{2} \mu, \text{если} y=y_0$$

В силу непрерывности.

F)
При любом фиксированном $x$ таком, что $|x-x_0| < \delta$, функция $|F(x,y)|^2$ достигает минимума во внутренней точки шара $|y-y_0| \leqslant r$, и поскольку матрица
$F'_y(x,f(x))$ обратима, то $F(x,f(x))=0$ этим устанавливается существование неявной функции $B(x_0,\delta) \to B(y_0,r)$.

и вот тут вопрос. Каким образом из обратимости $F'_y(x,f(x))$ следует $F(x,f(x))=0$?

[Oleg Zubelevich]

муторно это все. Стандартное доказательство заключается в применении принципа сжатых отображений к отображению$f(x)\mapsto f(x)-(F'_y)^{-1}(x,y_0)F(x,f(x))$

[RIP]

kp9r4d в сообщении #850166 писал(а):

Каким образом из обратимости $F'_y(x,f(x))$ следует $F(x,f(x))=0$?

Ещё известно, что $y=f(x)$ — точка минимума функции $|F(x,y)|^2$.

[kp9r4d]

Oleg Zubelevich в сообщении #850174 писал(а):

муторно это все. Стандартное доказательство заключается в применении принципа сжатых отображений к отображению$f(x)\mapsto f(x)-(F'_y)^{-1}(x,y_0)F(x,f(x))$

Спасибо, поищу. В любом случае хотелось бы завершить доказательство этим способом.

RIP в сообщении #850185 писал(а):

Ещё известно, что $y=f(x)$ — точка минимума функции $|F(x,y)|^2$.

А-а, кажись понял. Если $m$ — внутренний экстремум функции $|F(x,y)|^2$, то в нём должно быть выполнено $2|F(x,m)|F'_y(x,m)=0$ откуда следует $|F(x,y)|=0$.

[Oleg Zubelevich]

ваше доказательство на бесконечномерный случай не обобщается

[RIP]

kp9r4d в сообщении #850193 писал(а):

Если $m$ — внутренний экстремум функции $|F(x,y)|^2$, то в нём должно быть выполнено $2|F(x,m)|F'_y(x,m)=0$

Не совсем, т.к. $F$ — это вектор-функция. Вроде бы там получается $2\bigl(F'_y(x,m)\bigr)^TF(x,m)=0$.

[kp9r4d]

Да, точно ведь. В таком случае у меня выходит

$$\partial_{y_i} |F(x,m)|^2 = \sum\limits_j \partial_{y_i} F_j^2 (x,m) = 2 \sum\limits_j(F_j(x,m) \partial_{y_i} F_j(x,m) ) = 0, (i=1..n)$$

Где $F_j (x,y) = \pi_j (F(x,y))$.
Это тоже самое или у меня где-то ошибка?

-- 15.04.2014, 20:13 --

Да, вроде как очевидно, что тоже самое.