Задание по дифф геометрии

[loshka]

Здравствуйте. Столкнулся с задачкой и даже не знаю как подойти к решению, помогите пожалуйста.

Пусть $F$ гладкая регулярная замкнутая кривая. Доказать, что $\int_{F} r dk + \int_{F} Pb ds=0 $

Где k-кривизна
P-кручение
r и b векторы триэдра кривой

Что-то у меня совсем нет мыслей,по одному из векторов триэдра берется интеграл по кривизне, где область вся кривая... Ничиго понять не могу, дайте пожалуйста совета, в теорию я вроде бы более менее разобрался, тут как-то совсем галяк

[svv]

Векторы обозначайте
или стрелочками $\vec r$, пишется $\vec r$
или полужирным $\mathbf r$, пишется $\mathbf r$

Пусть $\gamma$ — регулярная гладкая замкнутая кривая. Доказать, что
$\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;dk + \int\limits_{\gamma} \varkappa\;\mathbf b\;ds=0$
В условии $\mathbf r$ — это не один из векторов триэдра, это радиус-вектор точки на кривой.
$\varkappa$ — кручение.

Преобразуйте первый интеграл так:
$\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;dk=\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;\frac{dk}{ds}\;ds$
и далее проинтегрируйте по частям (учтите, что кривая замкнутая). Затем воспользуйтесь одной из формул Френе.

[loshka]

Спасибо, вопрос насчет интегрирования по частям, я еще не изучил подробно интеграл Лебега, его по частям, как и интеграл Римана делать?
Я тоже думал, что r радиус вектор кривой, но какой смысл брать интеграл его по области, которой является сама кривая??

[svv]

Вы знаете, никогда не связывал эти вопросы именно с интегралом Лебега. Более того, никогда не задумывался, в каком смысле надо здесь понимать интеграл.

Считайте, что $\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;dk$ — это по определению $\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;\frac{dk}{dt}\;dt$, где параметр $t$ — это произвольный параметр на кривой (значение интеграла по кривой от выбора параметра не зависит). В данном случае удобно использовать натуральный параметр $s$, потому что именно по нему производится дифференцирование в формулах Френе.

По общему правилу $\int\limits_a^b u v' dx = \left.uv\right|_a^b-\int\limits_a^b u' v dx$ имеем:
$\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;\frac{dk}{ds}\;ds=\left.(\mathbf r k)\right|^{...}_{...}-\int\limits_{\gamma} \frac{d\mathbf r}{ds}\;k\;ds$
Вам надо хорошенько упростить правую часть. Подумать, что должно быть вместо многоточий. Что такое $\frac{d\mathbf r}{ds}$. И т.д.

[loshka]

я вообще совершенно не так интегрировал по частям у меня абро-кадабра получалась, у Вас все так красиво получилось)
Думаю вместо многоногий должно стоят $r(a)$ и $r(b)$ т.к. они равны, то первое слагаемое в правой части обратится в 0.
Я вот совершенно не умею писать использую тег math, простите, $d$\mathbf r$/ds$ это у нас вектор касательной, чувствую, что надо использовать вторую формулу Френе, но пока что не хватает производной вектора главной нормали

[svv]

Вместо многоточий должны стоять значения независимой переменной (т.е. параметра) в начале кривой (пишется внизу) и в конце кривой (пишется вверху). Мы можем написать:
$\left.(\mathbf r k)\right|_{s_1}^{s_2}=\mathbf r(s_2) k(s_2)-\mathbf r(s_1) k(s_1)$
Это будет правильно. Но мы можем добиться большего. Задумайтесь: ведь кривая замкнута. Следовательно, значения $s_1$ и $s_2$ соответствуют одной и той же точке (как 0 секунд и 60 секунд на циферблате — одна точка; как 180° западной долготы и 180° восточной долготы на экваторе — одна точка; как точка с полярным углом $0$ и $2\pi$ на окружности — одна и та же). Следовательно?

[loshka]

я ужасно выразил свою мысль, раз кривая замкнутая то по определению значение вектор функции в начале и в конце совпадает, значит можно записать как $r (s_2)k(s_2)-$\mathbf r$(s_1)k(s_1)= $\mathbf r$(s_1)(k(s_1)-k(s_2)) $ Остается непонятным о кривизне, она либо равна, либо отличается только знаком в конце и начале?

-- 15.04.2014, 00:40 --

думаю кривизна равна в этих точках, значит первое слагаемое обратится в $0$ ?

-- 15.04.2014, 00:46 --

хотя остается не понятным почему будет $s_1$ и $s_2$ а не значения в конце и начале кривой $r(s_1)$ и $r(s_2)$ ведь интеграл берет по множеству точек кривой, а не по множеству значений параметра?

[svv]

$s_1$ и $s_2$ соответствует одной и той же точке. Я придумал ещё один пример: допустим, кольцевая автодорога имеет длину ровно 109 км. Тогда километровый столб $s_1=0$ и $s_2=109$ — это один и тот же столб.

Раз так, в этих точках, которые на самом деле одна и та же точка, равны и значения радиус-вектора, и кривизны, и всего остального (объехав всю дорогу, мы замечаем: «мы здесь уже были»):
$\mathbf r(s_2)=\mathbf r(s_1)$
$k(s_2)=k(s_1)$
Поэтому и
$\mathbf r(s_2) k(s_2)=\mathbf r(s_1) k(s_1)$
Значит, ?

-- Пн апр 14, 2014 23:50:05 --

loshka в сообщении #849953 писал(а):

ведь интеграл берет по множеству точек кривой, а не по множеству значений параметра?

Интеграл берется по независимой переменной, в данном случае по параметру. Если под интегралом написано $\mathbf r ds$, то это интеграл от $\mathbf r$ по $s$. Такова терминология.

[loshka]

Знаете я считаю себя довольно неглупым, но вы заставляете чувствовать меня полным идиотом((
Я и картинку нарисовал и главный триэдр нарисовал...
Я правда абсолютно не могу понять почему, то что я говорю уже в третий раз, что неверна моя фраза, что первое слагаемое в выражение после того,как мы проинтегрировали по частям обратится в $0$ ?((

-- 15.04.2014, 00:59 --

я понял, что вы имеете ввиду насчет упрощения, а вот как в интеграле использовать вторую формулу Френе, там не хватает производной вектора главное нормали, как его там сконструировать ??

[svv]

Пытаюсь донести идею как можно яснее.

Обратится в ноль не всё первое слагаемое
$\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;dk=\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;\frac{dk}{ds}\;ds=\left.(\mathbf r k)\right|^{s_2}_{s_1}-\int\limits_{\gamma} \frac{d\mathbf r}{ds}\;k\;ds$,
а только внеинтегральный член $\left.(\mathbf r k)\right|_{s_1}^{s_2}$, я уже рассказал, почему — верхний и нижний предел соответствуют одной точке. Теперь у нас остаётся:
$-\int\limits_{\gamma}k\;\mathbf v\;ds+\int\limits_{\gamma}\varkappa\;\mathbf b\;ds$
Здесь $\mathbf v=\frac{d\mathbf r}{ds}$ — единичный касательный вектор, он может у Вас как-то иначе обозначаться.
И дальше примените одну из формул Френе.

[loshka]

Да, да да, именно этот член и обратится, я просто никак его написать не мог в тегах math

Применяю формулу Френе получается из 2 интегралов один интеграл( опять же не уверен что в интегралах Лебега можно просто так складывать) Где под интегралом получается производная вектора главной нормали, и теперь сижу думаю почему эта штукенция $\int\limits_{\gamma}\mathbf n'\;ds$ равна $0$

-- 15.04.2014, 01:15 --

все мои проблемы крутятся вокруг непонимания интеграла Лебега в этом случае, будь обычный интеграл Римана, абсолютно понятно, что из замкнутости кривой следует, что интеграл равен $0$

[svv]

loshka в сообщении #849965 писал(а):

почему эта штукенция $\int\limits_{\gamma}\mathbf n'\;ds$ равна $0$

По той же причине, что и тот внеинтегральный член.

Вообще, откуда берется внеинтегральный член при интегрировании по частям?
Есть тождество $(uv)'=u'v+uv'$.
Отсюда $uv'=(uv)'-u'v$.
Отсюда $\int\limits_a^b uv' \;dx=\int\limits_a^b (uv)'\;dx-\int\limits_a^b u'v\;dx$.
Обратите внимание на первый интеграл в правой части. Под ним стоит только производная от чего-то. Раз так, можно применить формулу Ньютона-Лейбница:
$\int\limits_a^b \frac{d\Phi}{dx} dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigl.\Phi\Bigl|_a^b$
Итак, интеграл от производной даёт внеинтегральный член $\left.\Phi\right|_a^b=\left.uv\right|_a^b$. Это раз.

И два. Если $a$ и $b$ соответствуют одной точке на кривой, внеинтегральный член обращается в нуль.

Эти «раз» и «два» объединяются в такую формулировку:
Интеграл от полной производной по замкнутому пути равен нулю.

-- Вт апр 15, 2014 00:23:07 --

loshka в сообщении #849965 писал(а):

все мои проблемы крутятся вокруг непонимания интеграла Лебега в этом случае

Я незнаком с интегралом Лебега. Все эти свойства относятся к интегралу Римана (ну, и Лебега тоже).

[loshka]

спасибо большое)
Можете подсказать, что я делаю не рационально в следующей задаче
найти плоскую кривую у которой касательная образует постоянный угол а с радиус-вектором кривой.

будем искать ответ в виде $y(t)$ и $x(t) $ Я вот тут еще не уверен, потеряется ли общность решения, если искать в виде $y=f(x)$

выразим угол через скалярное произведение направляющих векторов касательной и радиус-вектора получаем дифф уравнение, если записывать в координатах получается $\frac{xx'+yy'} {\sqrt{x^2+x'^2}\sqrt{y^2+y'^2}}=\cos(a) $

-- 15.04.2014, 01:36 --

А вот что делать дальше и как этот диффур решить, как-то непонятно

[svv]

Мне кажется, надо попытаться продвинуться как можно дальше, не прибегая к координатам. В векторном виде соотношения проще.

Итак, угол $\alpha$ между $\mathbf r$ и $\mathbf v=\frac{d\mathbf r}{ds}$ постоянный (естественно, мы используем натуральную параметризацию).
$\frac{\mathbf r\cdot\mathbf v}{|\mathbf r||\mathbf v|}=\cos\alpha$
Упрощаем. Во-первых, $|\mathbf v|=1$
$\frac{\mathbf r\cdot\mathbf v}{|\mathbf r|}=\cos\alpha$, или $\mathbf r\cdot\mathbf v=|\mathbf r|\cos\alpha$

Во-вторых, используем $\mathbf v=\frac{d\mathbf r}{ds}$
$\mathbf r\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}=|\mathbf r|\cos\alpha$

Я домножаю обе части на 2 (это подсказка).
$2\mathbf r\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}=2|\mathbf r|\cos\alpha$

Вы можете упростить левую часть?

-- Вт апр 15, 2014 00:49:08 --

svv в сообщении #849967 писал(а):

Интеграл от полной производной по замкнутому пути равен нулю.

Не могу удержаться, чтобы не привести иллюстрацию. Вы путешествуете по горам неделю и возвращаетесь в исходную точку. Если за понедельник Вы поднялись на $600$ м, за вторник на $1800$, за среду на $-400$, за четверг на $-250$, и так далее до воскресенья, то сумма всех этих чисел будет равна нулю. Потому что Вы интегрировали производную от высоты по замкнутому пути.

[loshka]

оу, эм, если я правильно Вас понимаю то вы предлагаете преобразовать левую часть в $(r^2)' $

-- 15.04.2014, 01:54 --

Цитата:

Не могу удержаться, чтобы не привести иллюстрацию. Вы путешествуете по горам неделю и возвращаетесь в исходную точку. Если за понедельник Вы поднялись на $600$ м, за вторник на $1800$, за среду на $-400$, за четверг на $-250$, и так далее до воскресенья, то сумма всех этих чисел будет равна нулю. Потому что Вы интегрировали производную от высоты по замкнутому пути.

Безусловно интуитивно это понятно, просто сравнивания определения интеграла Лебега и Римана, интуитивность теряется когда видишь, что там творится

Хотя здесь я действительно перемудрил, так как условие регулярности позволяет сравнивать с обычным движением по замкнутой траектории