Наибольшее и наименьшее значение в области

[Limit79]

Здравствуйте!

Необходимо найти максимальное и минимальное значение функции $z=x^2+y^2-10x-36$ в области $x^2+y^2 \leq 36$.

Верно ли я понимаю, что граница области будет задаваться двумя уравнениями $y= \pm \sqrt{36-x^2}$, и их нужно по отдельности подставлять в функцию и искать наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на соответствующих отрезках, или можно воспользоваться тем, что $x^2+y^2=36$ и подставить это в функцию, т.е. $z=36-10x-36 \Rightarrow z=-10x$ и искать наибольшее и наименьшее значение этой функции при $x \in [-6;6]$?

Спасибо!

[provincialka]

Конечно, вторым способом. Тем более, что первый приведет к тому же.

[Limit79]

provincialka
Понял, спасибо!

[provincialka]

Не забудьте также исследовать внутренние точки области.

[Limit79]

provincialka
Стационарные, которые находятся внутри?

[Ms-dos4]

Да

[Limit79]

Ms-dos4
Спасибо!

А еще вопрос: нужно ли исследовать стационарную точку по достаточным условиям экстремума (через вторые производные)?

[Ms-dos4]

Обычно так делают, если не могут вычислить значения и проверить что это (максимум/минимум/седло). В вашем же случае легко можно всё вычислить. Но если вам нужна эта возня с Гессианом то можете конечно.

[Limit79]

Ms-dos4 в сообщении #849821 писал(а):

если не могут вычислить значения

А это как?

[Ms-dos4]

Например функции с параметрами. Так же вам это понадобиться, если вы хотите отличить седло.

[Limit79]

Ms-dos4
Понял, спасибо!

[ewert]

Limit79 в сообщении #849771 писал(а):

Верно ли я понимаю, что граница области будет задаваться двумя уравнениями $y= \pm \sqrt{36-x^2}$,

Граница может описываться самыми разными способами, и предложенный Вами -- в данном случае самый невыгодный. Гораздо проще задать её параметрически (используя в качестве параметра полярный угол).

Limit79 в сообщении #849819 писал(а):

нужно ли исследовать стационарную точку по достаточным условиям экстремума (через вторые производные)?

Категорически не нужно. Минимум и максимум могут достигаться только в стационарных точках -- внутренних или граничных (ну и ещё в вершинах, если бы они были). И надо эти точки просто перебрать.

[provincialka]

ewert в сообщении #850048 писал(а):

Граница может описываться самыми разными способами, и предложенный Вами -- в данном случае самый невыгодный.

Высказывание, верное в общем случае, но не в этом простом примере. Подстановка $y$ из условия сводит функцию к линейной - чего уж проще!