Ln(x) в степеные ряды

[Simplar]

Разложил в такой ряд:
$\ln(x) = (1/4-x/4)(x^3-13x^2/3+23x/3-25/3)$
Подставил тройку в этот ряд - получился отрицательный результат. Что я разложил не так и как разложить верно?

[Ms-dos4]

Откуда вы вообще это выражение взяли? Более-менее хорошее выражение такое
$\[\frac{1}{2}\ln \frac{{1 + x}}{{1 - x}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{x^{2k + 1}}}}{{2k + 1}}} \]$

[Simplar]

Ms-dos4, а насколько быстро сойдётся такой ряд?

[provincialka]

Simplar в сообщении #848974 писал(а):

Разложил в такой ряд:
$\ln(x) = (1/4-x/4)(x^3-13x^2/3+23x/3-25/3)$
Подставил тройку в этот ряд - получился отрицательный результат. Что я разложил не так и как разложить верно?

1. Где здесь ряд? Не вижу! Хоть бы многоточие для приличия поставили.
2. Что такое "отрицательный результат"? В смысле "отрицательное значение правой части"? Или просто "ничего не вышло"
3. Всякий ряд (если это именно ряд) имеет область сходимости.

[Simplar]

provincialka, это была формула из Википедии, упрощённая Нигмой.

[provincialka]

Вот и не пользуйтесь этой Нигмой. Формула была хорошая, правильная, и "упрощать" ее не надо. Потому что в неупрощенной форме, да еще с многоточием, вы бы сразу поняли, что правая часть не "отрицательна". А просто не существует.

[Simplar]

provincialka, по этой формуле $\ln(3) = 5.0667$, а на деле $1.09861228867$. Указал в свою расчётную программу формулу в таком виде: $(x-1)-(x-1)\cdot(x-1)/2+(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)/3-(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)/4+(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)/5$
Где-то ошибся?

[ewert]

Simplar в сообщении #849029 писал(а):

по этой формуле $\ln(3) = 5.0667$

Во-первых, это заведомая неправда (во всяком случае, для "неупрощённой" формулы). Во-вторых: Вы вообще в курсе, что такое ряд?...

[Simplar]

ewert, ряд - постепенное приближение, это всё, что я могу сказать. Исправьте меня, пожалуйста, если я не прав.

[Brukvalub]

Интересно, этот товарищ просто развлекается, выкладывая на форум заведомый бред?

[Xaositect]

Simplar в сообщении #849029 писал(а):

Где-то ошибся?

Даже в википедии написано, что ряд $\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ сходится при $-1 < x \leqslant 1$. Если надо вычислить $\ln 3$, то надо пользоваться чем-то другим.

[provincialka]

Simplar в сообщении #849029 писал(а):

provincialka, по этой формуле $\ln(3) = 5.0667$,

По какой "этой"? После-Нигменной? Вы заменили ряд (бесконечную сумму) на конечную. Это не одно и то же.
Вот что получается на самом деле:
$\ln x =(x-1)-\frac12(x-1)^2+\frac13(x-1)^3-\frac14(x-1)^4+...$
Подставляем $x=3, x-1=2$
$\ln 3 =?= 2-\frac12 2^2+\frac13 2^3-\frac14 2^4+...$
Заметьте, как растут слагаемые! Такие большие слагаемые нельзя просто так отбрасывать!

[Евгений Машеров]

Для начала - у Вас нет ряда. Есть конечная сумма. В вычислительной практике сумму ряда могут аппроксимировать конечной суммой, но сама собой такая замена не получается. Недостаточно отбросить "лишние" члены ряда, надо ещё оценить отброшенный остаток.
Затем, даже если у нас есть хороший ряд, у него имеется область сходимости, и вне её может быть много интересного, только сумму использовать обычным образом нельзя.
При вычислении функций начинают с того, чтобы привести её к удобному интервалу, пользуясь соответствующими формулами приведения, потом могут взять ряд Тейлора, а могут и по полиномам Чебышева разложить, или Паде или ещё как. И обрывают бесконечное разложение очень осторожно, с пониманием.
В данном случае есть разложение логарифма в окрестностях единицы, по степеням этого самого отклонения от единицы. И чем больше отклонение - тем медленнее убывают последовательные члены, тем легкомысленнее их отбрасывать. И если единица и более - у Вас вообще не сойдётся, даже при бесконечном количестве членов. А взяв их конечное число - получим всё, что угодно, кроме ответа.

[Simplar]

Евгений Машеров, то есть даже при 25 итерациях этого метода надо идти дальше?

[Евгений Машеров]

А что Вы понимаете под итерацией?