Санкт-Петербургский парадокс в статье Иваницкого Г. Р.

[Lukum]

В одной из дискуссий Munin дал ссылку на статью:
Иваницкий Г. Р. XXI век: что такое жизнь с точки зрения физики. УФН 180 337–369 (2010)
http://ufn.ru/ru/articles/2010/4/a/
Предлагается обсудить пункт "3.9. Санкт-Петербургский парадокс." (стр.354-360) вышеуказанной статьи.
Некоторые утверждения и рассуждения этого пункта выглядят странно.
В частности на стр.356 в первом абзаце

Цитата:

"Таким образом, в каждой игре, независимо от того, в каком раунде игрок выигрывает, им может быть получено приращение выигрышей. "

Насколько я понял, Иваницкий утверждает, что с помощью правильно подобранной стратегии изменения ставки при игре в орлянку математическое ожидание выигрыша станет положительным. Он не пишет напрямую это, но иначе зачем вообще это обсуждать.
Стр.356

Цитата:

В распределении выигрышей и проигрышей появляется, хоть и небольшая, но асимметрия в пользу игрока. По сути, эта стратегия заключается в усилении выигрышных кластеров, в которых подряд несколько раз выпадает одна и та же сторона монеты.

[Alextp]

(Оффтоп)

ЗдОрово, такая актуальная тема. Все же помнят правила игры в орлянку, популярная игра в 21 веке.

[Deggial]

Alextp, замечание за бессодержательное сообщение

[Евгений Машеров]

Насколько я понимаю, там арифметическая ошибка. Похоже, она связана с тем, что, вычисляя матожидание выигрыша, автор отбросил маловероятные серии более 11 повторений, не обратив внимание на то, что ставка у него растёт с длиной серии, и поэтому сумма проигрышей оказалась у него не равна сумме выигрышей.
Достаточно типичная ошибка, сгубившая множество игроков. придумывавших стратегии игры в рулетку и т.п.

[Lukum]

Вот какой-то несколько противоречивый пункт у него.
Я грешным делом подумал, что вероятно статью писали какие-нибудь аспиранты, судя по его возрасту - 73 года.
Хотя он там и пишет вначале пункта на стр.355, что не существует стратегии игрока, которая может гарантировать выигрыш, но далее рассуждает об обратном.

[Lukum]

Усекли хвостик в статье, видимо как маловероятный хоть и маловероятно, зато стоит дорого.

[Евгений Машеров]

Если бы такая стратегия работала - все казино разорились бы.
Очевидно, что если выпадения стороны есть события случайные и независящие от предшествующих, то они и от истории выпадений в прошлом не зависят, и от истории выигрышей с учётом ставок. А если игра "справедливая", вероятности по $\frac 1 2$, то матожидание при любой системе ставок 0.

[Lukum]

Именно так. И выгрышные кластера абсурд, а он там выводы дальше на биологию переносит видимо, но я внимательно не читал.

[shwedka]

Уэтого парадокса есть еще одна небанальная сторона. Не знаю,как у вас, но у нас в Швеции массово идет спам-рассылка о гарантированном выигрыше в интернет-рулетку. Песня обычная:ставите 1евро на красное, если проигрываете, то ставите 2 евро на то же красное и тд, пока не выпадет красное, а тогда кладете себе в выигранное 1 евро,меняете цвет и делаете так же и дальше, начиная с единицы.
На каждом 'этапе' гарантированный выигрыш 1 евро.Математическое ожидание выигрыша на каждом этапе,по простой арифметике,
$1\times \frac12+1\times\frac14+\dots+1\times\frac{1}{2^n}+\dots=1.$
то есть, игрок заведомо наживается за счет казино.
К этому добавляется вариация стратегии на случаи зеро или двойного зеро, что мы, для простоты, игнорируем.

Вещь немаргинальная, каждый раз, когда мне приходилось сию науку шведским студентам преподавать,находились интересующиеся такой стратегией.

Здесь, конечно, в приведенном выше расчете, проигнорированы два обстоятельства, делающие его ошибочным.
1. Лимит ставки на столе: не более $N$ €
2. Ограниченность начального капитала игрока $C$: после некоторого количества проигрышей,игрок разоряется и не имеет возможность далее удваивать ставку.

Вопрос. можно ли указать зависимость $C(N)$ так, что при начальном капитале $C>C(N)$
и лимите ставки $N$, математическое ожидание выигрыша по этой стратегии положительно.
Будем считать,что при невозможности из-за разорения продолжать играть по стратегии, игрок ставит все оставшиеся деньги, и при выигрыше начинает вновь с единицы.
При достижении лимита, начинает с нуля
(интересно также рассмотреть другие стратегии поведения при достижении лимита).

[alexo2]

shwedka в сообщении #850143 писал(а):

Здесь, конечно, в приведенном выше расчете, проигнорированы два обстоятельства, делающие его ошибочным.
1. Лимит ставки на столе: не более $N$ €
2. Ограниченность начального капитала игрока $C$: после некоторого количества проигрышей,игрок разоряется и не имеет возможность далее удваивать ставку.

Есть ещё пара моментов:
3. Плата за вход.
4. Игромания - болезнь, многие не могут остановиться на своем "условленно гарантированном выигрыше" и продолжают ставить дальше, хотя по условию - надо уходить.
Кстати, и зеро я бы не стал откидывать как не значащее условие - в долгосрочной перспективе очень даже играет роль...

Вообще же все эти условия надо рассматривать вкупе. Аналитики в казино - далеко не дураки..

[Евгений Машеров]

Краткий ответ: нет, не может. Подобная стратегия, известная, как мартингейл (связь с математическим понятием мартингала имеется), способна сделать вероятность проигрыша сколь угодно малой (при неограниченности ставок, ограничение ставок ограничивает и малость вероятности проигрыша), но при этом растёт и сумма проигрыша при неудаче так, что матожидание нулевое. Отсутствие ограничения на величину ставки позволяет строить софистические рассуждения, опирающиеся исключительно на то, что люди не ощущают бесконечно малые или бесконечно большие величины, но суть вопроса от этого не меняется. Ноль равен нулю.
Если же включить в рассмотрение реальную рулетку, с вероятностью выигрыша $\frac {18}{37}$ или "американскую" $\frac {18}{38}$, то стратегия становится прямо убыточной. Понятно, что рост ставок увеличивает и сумму выигрыша владельца рулетки, поскольку вероятность "зеро" или невыбранного игроком цвета постоянна, а ставка растёт.Так что смысл спам-рассылки не только завлечь в казино перспективой безрискового выигрыша, но и уговорить ставить побольше.
Интересно рассмотреть задачу о разорении игрока при простейшей тактике равных ставок и описанной. Боюсь, тут разорение будет раньше.

[tolstopuz]

shwedka в сообщении #850143 писал(а):

Песня обычная:ставите 1евро на красное, если проигрываете, то ставите 2 евро на то же красное и тд, пока не выпадет красное, а тогда кладете себе в выигранное 1 евро,меняете цвет и делаете так же и дальше, начиная с единицы.

Цвет можно и не менять :)

[Lukum]

Поддерживаю мнение, изложенное в сообщении Евгений Машеров

-- 15.04.2014, 20:30 --

Евгений Машеров в сообщении #850170 писал(а):

Интересно рассмотреть задачу о разорении игрока при простейшей тактике равных ставок и описанной. Боюсь, тут разорение будет раньше.

Можно просто промоделировать.
Скорость разорения по стратегии мартингейла по идее у большинства, применящих стратегию, должна быть ниже в среднем, чем у среднего произвольно взятого игрока, ставящего фиксированную ставку, умозрительно.

[Евгений Машеров]

Думаю, что скорее будет выше. Но тут надо строго оговорить условия, как ставить.

[Lukum]

Пусть так будет.
Орлянка, правильная монета, капитал 1000 монет у игрока.
1. Есть 10 игроков, которые ставят минимальную фикисированную ставку 1 монета.
2. Есть 10 игроков, которые ставят по классическому мартингейлу, т.е. минимальную фикисированную ставку 1 монета, затем удваивают сумму ставки, если проиграл предыдущую ставку. После выигрыша начинает снова с минимальной.

Проводим эксперимент 10 раз.
Подсчитываем среднюю скорость разорения для каждой группы по всем экспериментам и сравниваем.
Думаю в экзеле легко смоделировать даже, но там датчик случайных чисел кривой, но может быть для этих целей его хватит.

-- 16.04.2014, 11:05 --

Евгений Машеров
Если, вдруг, вы окажетесь правы, то у меня есть наготове "откорячка" уважительная :) я ее приведу потом, тогда вторым этапом нужно будет учесть эту "откорячку".