Абсолютная сходимость интеграла

[default name]

В книге Кудрявцева "Курс мат. анализа" есть утверждение

если сходится интеграл $$\int_{a}^{b} |f(x)| dx$$, то интеграл $$\int_{a}^{b} f(x) dx$$ также сходится
А как же контрпример - функция Дирихле?

[Ms-dos4]

Функция Дирихле по Риману вообще не интегрируема, а по Лебегу никаких проблем нет. Так что я не понял, о каком контрпримере идёт речь?

[default name]

Ms-dos4
немного перепутал. Если изменить значения функции Дирихле в иррациональных точках с 0 на -1, то модуль такой функции будет интегрируем по Риману, а сама функция нет.

[mihailm]

Два варианта, либо Кудрявцев ошибся, либо вы, излагая его утверждение.
Как думаете какой верный?

[gris]

Это понятно (с модификацией ФД). Идея хорошая, но если Вы посмотрите более пристально в окрестности утверждения, то там должно быть написано, что функция $f(x)$ предполагается быть интегрируемой по Риману на любом отрезке, принадлежащем интервалу интегрирования.

[default name]

Спасибо. Теперь понял.

-- 12.04.2014, 13:43 --

Может кто-нибудь пояснит, почему в определении ряда Фурье требуют абсолютной интегрируемости. Почему простой интегрируемости недостаточно?

[Brukvalub]

Если несобственный интеграл от функции сходится абсолютно, то интеграл от произведения этой функции на ограниченную интегрируемую по Риману функцию тоже будет сходиться (даже абсолютно!), поэтому коэффициенты Фурье такой функции по основной триг. системе всегда определены.

[mihailm]

default name в сообщении #848616 писал(а):

...Может кто-нибудь пояснит, почему в определении ряда Фурье требуют абсолютной интегрируемости. Почему простой интегрируемости недостаточно?

Тут все просто, но несколько запутано.
Ряды Фурье естественны у интегрируемых по Лебегу функций.
Если обучаемый этого Лебега не знает, то приходится обходиться Риманом.
Интегрируемые по Риману функции обладают плохим свойством - ограниченностью, поэтому желательно добавить несобственно интегрируемые функции (По Риману). И тут появляется засада - они могут быть не интегрируемы по Лебегу. Ограничиваемся абсолютной интегрируемостью - и все в ажуре!

[ewert]

mihailm в сообщении #849069 писал(а):

Ряды Фурье естественны у интегрируемых по Лебегу функций.

Причём "у" квадратично интегрируемых. После чего вопрос о знаках снимается автоматически.

[mihailm]

Ну да, в начале естественны у квадратно интегрируемых, а потом (почти сразу) у просто интегрируемых

[ewert]

mihailm в сообщении #849075 писал(а):

, а потом (почти сразу) у просто интегрируемых

Ой не сразу. Т.е. писать-то ряд Фурье естественнее, наоборот, начиная с просто интегрируемых. Однако сам по себе ряд никому не нужен, пока не доказана его сходимость хоть в каком-нибудь разумном смысле. И тут выясняется, что для квадратично интегрируемых функций сходимость в среднем квадратичном в определённом смысле тривиальна. А вот для просто интегрируемых -- большие проблемы: ряд Фурье не обязан сходиться к ним даже в среднем (правда, по Чезаро он всё-таки сходится, но это уже в базовые курсы не входит).

[mihailm]

ewert, в упор не понимаю о чем вы. Что из моего первого поста неверно?

[ewert]

mihailm в сообщении #849102 писал(а):

Что из моего первого поста неверно?

Из первого почти всё верно (хотя мне не понравились акценты). Но вот просто суммируемости -- для сходимости ряда недостаточно.