ТС куда-то запропал. Выложу решение, вдруг ещё кому-то будет интересно. Само решение представляет собой набор утверждений типа

. Каждое утверждение легко доказать (например, проверкой, что

и

удовлетворяют одному и тому же дифуру с одинаковыми начальными условиями). Как получить каждое из утверждений --- отдельная история.
Слегка модифицированное интегральное определение гипергеометрической (ГГ) функции:

Как следствие,

Одно из возможных преобразований данной ГГ-функции:

Пусть теперь

Заметим (хе-хе), что

Как следствие, для

соотношение (3) принимает вид

Тогда из (2) находим требуемую ГГ-функцию:
![$$
{}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,a\Bigr)
=\frac{1}{12a^{1/3}}\cdot
\frac{\Gamma^2\bigl(\tfrac13\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)}={}
$$
$$
{}=\frac{1-a+a^2}{1+3a-6a^2+a^3}\cdot
\frac{\Gamma^2\bigl(\tfrac13\bigr)}{4\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)}={}
$$
$$
{}=\frac{1+\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{3}+\sqrt{3}}{6}\cdot
\frac{\pi^{3/2}}
{2^{2/3}\sqrt{3}\,\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)\Gamma\bigl(\tfrac56\bigr)}
$$ $$
{}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,a\Bigr)
=\frac{1}{12a^{1/3}}\cdot
\frac{\Gamma^2\bigl(\tfrac13\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)}={}
$$
$$
{}=\frac{1-a+a^2}{1+3a-6a^2+a^3}\cdot
\frac{\Gamma^2\bigl(\tfrac13\bigr)}{4\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)}={}
$$
$$
{}=\frac{1+\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{3}+\sqrt{3}}{6}\cdot
\frac{\pi^{3/2}}
{2^{2/3}\sqrt{3}\,\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)\Gamma\bigl(\tfrac56\bigr)}
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/9/1b9a956426646e4495deb85dc7a5a04a82.png)
и затем исходный интеграл.