Задача:
Пусть
![$f_n$ $f_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/8/ff82ed17908d67f099f83c0b251de0ab82.png)
и
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- измеримые по Лебегу на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
функции. Верно ли, что
![$f_n$ $f_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/8/ff82ed17908d67f099f83c0b251de0ab82.png)
сходится к
почти всюду на
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
тогда и только тогда, когда
![$f_n$ $f_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/8/ff82ed17908d67f099f83c0b251de0ab82.png)
сходится к
по мере?
Как мне известно, в обе стороны неверно. В одну сторону, когда из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, контрпример я знаю. А вот в другую, думаю про такой пример:
![$f_n(x) = n ~\forall x \in [0,1]$ $f_n(x) = n ~\forall x \in [0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/8/588234359b27ef1c75d4eb12534a240982.png)
. Ясно, что
![$f_n (x) \to +\infty$ $f_n (x) \to +\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/d/70d4cd725b2ba19bb81f189668ca28db82.png)
при
![$n \to \infty$ $n \to \infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/5/8e5ac09b149a8f375637b349458e91e182.png)
, тут поточечная сходимость влечет сходимость почти всюду. Но можно ли эту последовательность втиснуть в определение сходимости по мере? То есть в определении
![$\forall \varepsilon > 0 ~\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| \ge \varepsilon\} \to 0$ $\forall \varepsilon > 0 ~\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| \ge \varepsilon\} \to 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/7/02762aeebe024ff2136d6ac8a7b0fd7e82.png)
при
следует ли поменять знак на противоположный, ведь мы сходимся не к нулю, а к бесконечности? Если да, тогда можно построить отрицание этого определения, и мой пример вроде как подходит?
![Surprised :o](./images/smilies/icon_surprised.gif)