Сходимость почти всюду

[Dosaev]

Задача:
Пусть $f_n$ и $f$ - измеримые по Лебегу на отрезке $[0,1]$ функции. Верно ли, что $f_n$ сходится к $f$ почти всюду на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $f_n$ сходится к $f$ по мере?

Как мне известно, в обе стороны неверно. В одну сторону, когда из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, контрпример я знаю. А вот в другую, думаю про такой пример: $f_n(x) = n ~\forall x \in [0,1]$. Ясно, что $f_n (x) \to +\infty$ при $n \to \infty$, тут поточечная сходимость влечет сходимость почти всюду. Но можно ли эту последовательность втиснуть в определение сходимости по мере? То есть в определении
$\forall \varepsilon > 0 ~\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| \ge \varepsilon\} \to 0$ при $n \to \infty.$
следует ли поменять знак на противоположный, ведь мы сходимся не к нулю, а к бесконечности? Если да, тогда можно построить отрицание этого определения, и мой пример вроде как подходит?

[Oleg Zubelevich]

а учебник читать не пробовали?

[ewert]

Dosaev в сообщении #848967 писал(а):

следует ли поменять знак на противоположный, ведь мы сходимся не к нулю, а к бесконечности?

Вот именно что следует, и именно по этой причине. И тогда всё прекрасно сходится.

[Dosaev]

Oleg Zubelevich в сообщении #848969 писал(а):

а учебник читать не пробовали?

Вы на что намекаете? Может быть, вы хотите сказать, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере на множестве конечной меры? Так вот, это не всегда верно, в случае предельной функции, принимающей бесконечные значения.

[Oleg Zubelevich]

[Dosaev]

ewert в сообщении #848973 писал(а):

Dosaev в сообщении #848967 писал(а):

следует ли поменять знак на противоположный, ведь мы сходимся не к нулю, а к бесконечности?

Вот именно что следует, и именно по этой причине. И тогда всё прекрасно сходится.

Тогда $f_n$ сходится к $+\infty$ по мере, если
$\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| < \varepsilon\} \to 0 Ё(n \to \infty).$
Но
$\exist \varepsilon_0 = 150: ~\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| \ge \varepsilon_0\} = 1 \not = 0 Ё(n \to \infty).$ Следовательно, сходимости по мере нет. Верно?

-- Вс апр 13, 2014 10:51:52 --

Oleg Zubelevich
спасибо, но я только больше запутался.

-- Вс апр 13, 2014 11:04:55 --

В КФ написано, что достаточно конечности меры множества, чтобы из "почти всюдусти" следовала "мера". Это меня еще больше запутало.

[ewert]

Dosaev в сообщении #848981 писал(а):

Следовательно, сходимости по мере нет. Верно?

Верно с точностью до наоборот. Зачем Вы столь легко и непринуждённо обращаетесь со знаками неравенств?

Dosaev в сообщении #848981 писал(а):

В КФ написано, что достаточно конечности меры множества, чтобы из "почти всюдусти" следовала "мера". Это меня еще больше запутало.

Вы что, даже и КФ не верите?... Но ведь им не надо верить -- их надо просто почитать: у них эта теорема не только сформулирована, но даже и доказана.

[Dosaev]

ewert в сообщении #849033 писал(а):

Зачем Вы столь легко и непринуждённо обращаетесь со знаками неравенств?

Хорошо, по порядку. Что значит, что последовательность $f_n$ сходится по мере к $+\infty?$ Это значит, что
$\forall \varepsilon > 0 ~\forall \delta > 0 ~\exists N \in \mathbb{N} ~\forall n \ge N \hookrightarrow \mu\{x \in [0,1]: |f_n(x)| < \varepsilon\} < \delta.$ Так? Теперь строим отрицание:

$\exists \varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 ~\forall N \in \mathbb{N} ~\exists n = n(N) \ge N \hookrightarrow \mu\{x \in [0,1]: |f_n(x)| <(?) \varepsilon\} \ge \delta.$
Если в самой мере не менять знак, то отрицанию не удовлетворить, и тогда действительно, пардон, я не прав.

ewert в сообщении #849033 писал(а):

Вы что, даже и КФ не верите?... Но ведь им не надо верить -- их надо просто почитать: у них эта теорема не только сформулирована, но даже и доказана.

Верю, но позвольте уточнить, это верно и для предельной функции, принимающей бесконечные значения?

[Oleg Zubelevich]

Dosaev в сообщении #848981 писал(а):

Тогда $f_n$ сходится к $+\infty$ по мере, если
$\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| < \varepsilon\} \to 0 Ё(n \to \infty).$

а это в каком учебнике такое определение содержится? просто любопытно

[Dosaev]

Oleg Zubelevich в сообщении #849111 писал(а):

Dosaev в сообщении #848981 писал(а):

Тогда $f_n$ сходится к $+\infty$ по мере, если
$\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| < \varepsilon\} \to 0 (n \to \infty).$

а это в каком учебнике такое определение содержится? просто любопытно

Ни в каком, я его сам переделал, для бесконечного случая по аналогии с $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$.

[Otta]

Dosaev в сообщении #848967 писал(а):

Задача:
Пусть $f_n$ и $f$ - измеримые по Лебегу на отрезке $[0,1]$ функции. Верно ли, что $f_n$ сходится к $f$ почти всюду на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $f_n$ сходится к $f$ по мере?

Как мне известно, в обе стороны неверно. В одну сторону, когда из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, контрпример я знаю. А вот в другую,

А в другую

Dosaev в сообщении #848981 писал(а):

достаточно конечности меры множества, чтобы из "почти всюдусти" следовала "мера".

По-моему, все прозрачно до безобразия.

[Dosaev]

Да, Колмогоров именно это и утверждает. Простите, что вспудрил вам мозги.

(Оффтоп)

Просто, кто-то меня обманул, а я повелся и начал выдумать контрпримеры...

[ewert]

Dosaev в сообщении #849114 писал(а):

я его сам переделал,

Ну просто аккуратнее надо переделывать: надо сказать что-то про эпсилон и убрать модуль.

Dosaev в сообщении #849077 писал(а):

Верю, но позвольте уточнить, это верно и для предельной функции, принимающей бесконечные значения?

Во-первых, один случай пересчитывается в другой непрерывной заменой. А во-вторых -- схема доказательства ровно такая же.

[Dosaev]

ewert в сообщении #849125 писал(а):

Dosaev в сообщении #849114 писал(а):

я его сам переделал,

надо сказать что-то про эпсилон

$\forall \varepsilon > 0.$

ewert в сообщении #849125 писал(а):

и убрать модуль

Да, $+\infty$ же.

Dosaev в сообщении #849077 писал(а):

Верю, но позвольте уточнить, это верно и для предельной функции, принимающей бесконечные значения?

ewert в сообщении #849125 писал(а):

Во-первых, один случай пересчитывается в другой непрерывной заменой. А во-вторых -- схема доказательства ровно такая же.

Ясно, вот это мне и надо было, спасибо!