Простая задачка по комплексному анализу

[Rich]

Если $|z|=1$ и $z \neq \pm 1$, тогда все значения $\frac{z}{1-z^2}$ лежат на ...?

Как я понимаю, надо определить на какой геометрической фигуре лежат значения $\frac{z}{1-z^2}$.

Из формулы геометрической прогрессии получил $\frac{z}{1-z^2}=z+z^3+z^5+...$.Но оценить модуль не удается.

[provincialka]

Самый тупой способ - найти $z$ из уравнения $\frac{z}{1-z^2}=w$ и приравнять модуль полученного выражения к 1. Ну, или, хотч бы, посмотреть, когда такое уравнение может иметь корень с модулем 1.

-- 12.04.2014, 22:32 --

Впрочем, легче просто записать $z$ в тригонометрической форме и выполнить действия.

[ewert]

Rich в сообщении #848804 писал(а):

Но оценить модуль не удается.

А с какой стороны Вы пытаетесь его оценить?...

Не надо ничего раскладывать. Домножьте и разделите на $(1-{\overline z}^2)$ -- немедленно почти всё станет ясно. Ну а чуть погодя, после очевидной оценки модуля исходной дроби снизу -- и вовсе всё.