Найти интеграл

[MestnyBomzh]

Предположу, что

$$\int \frac{d(y^2)}{2\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}$$

[provincialka]

Ага. Под дифференциал еще и константу можно запихнуть.

[svv]

А потом и всё остальное: $\frac 1 2 \heartsuit^{-\frac 1 2} d\heartsuit=...$

[MestnyBomzh]

$$\int \frac{d(y^2)}{2\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}=\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}.$$

Итоо получили: $\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}+\frac{5}{2}$\ln{\left | y+\sqrt{y^2+{\frac{3}{4} \right |}$
С учетом $y=e^x+\frac{1}{2}$ получаем: $\sqrt{(e^x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}+\frac{5}{2}$\ln{\left | {e^x+\frac{1}{2}+\sqrt{({e^x+\frac{1}{2})^2+{\frac{3}{4} \right |}$.
Проверил, производная сходится, спасибо! Такой вопрос, про модуль под логарифмом: как брать производную от него, чтобы проверить, что я верно нашел первообразную? Разбивать на два случая уж слишком муторно будет

-- 13.04.2014, 02:47 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #848891 писал(а):

А потом и всё остальное: $\frac 1 2 \heartsuit^{-\frac 1 2} d\heartsuit=...$

весна наступает

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #848897 писал(а):

Такой вопрос, про модуль под логарифмом: как брать производную от него, чтобы проверить, что я верно нашел первообразную? Разбивать на два случая уж слишком муторно будет

Да ну?

[MestnyBomzh]

Otta
А, или мы просто убираем модуль, говоря, что выражение под ним должно быть больше нуля. А выражение под ним больше нуля, потому что это первообразная и она должна иметь ту же одз, что и наша изначальная функция. То етсь, рассматривать будем только один случай?

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #848900 писал(а):

А выражение под ним больше нуля, потому что это первообразная и она должна иметь ту же одз, что и наша изначальная функция.

Причем тут первообразная? Оно больше нуля или нет?

[MestnyBomzh]

Otta в сообщении #848902 писал(а):

Оно больше нуля или нет?

Я тут подумал, все-таки в первый раз я был прав. Выражение под модулем может быть как больше нуля, так и меньше. Например, $\int \frac{1}{x}dx=\ln(\left | x \right |)$. И тут икс может быть как больше, так и меньше нуля, значит нужно будет как-то избавляться от модуля при поиске производной?

[provincialka]

Всего-то два случая рассмотреть! А если влом, запишите $\ln|x|=\frac 12\ln(x^2)$.

[MestnyBomzh]

о, точно, с корнем нужно было догадаться, спасибо!