Симметричные тензорные поля

[vanger]

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, доказать следующее утверждение.

Рассмотрим пространство симметричных тензорных полей, однородных по координатам, т.е. для всех полей $\Phi$: $x^\mu \partial_\mu \Phi = C \Phi$ для некоторого $C$. И пусть на этом пространстве действует оператор $e$ следующим образом:
$e \Phi_{\mu_1 \ldots \mu_{n-1}} = \partial_{[\mu_1} \Phi_{\mu_2 \ldots \mu_n]}$,
где $[\cdot]$ означает симметризацию индексов, а $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$. Т.е., например,
$e \Phi_{\mu} = \partial_\mu \Phi_\nu + \partial_\nu \Phi_\mu$.

Утверждение: ядро $e$ $-$ конечномерно.

Моя попытка доказательства. Рассмотрим симметричные тензоры как коэффициенты коммутирующих переменных $P^\mu$. Т.е. рассмотрим производящую функцию вида $\Phi = \Phi_{\mu_1 \dots \mu_n} P^{\mu_1} \ldots P^{\mu_n}$.
Тогда $e = P^\mu \partial_\mu$.
Введём оператор $f = x^\mu \frac{\partial}{\partial P^\mu}$.
Тогда $e, f$ и $h = [e,f] = P^\mu \frac{\partial}{\partial P^\mu} - x^\mu \partial_\mu$ образуют алгебру $\mathfrak{sl}(2)$, где $h$ $-$ весовой оператор, а $e$ и $f$ $-$ повышает и понижает вес, соответственно.

Т.о., ядро $e$ $-$ представление $\mathfrak{sl}(2)$ максимального веса. Это явно неспроста и как-то можно использовать. Но что-то никак не соображу как. Не подскажете?

[vanger]

Да тензоры пусть будут определённого ранга. Ядро $e$ тогда зануляется и $(n+1)$-й степенью $f$.

[svv]

vanger
Я не могу ни оценить начало Вашего решения, ни подсказать, куда Вам двигаться дальше, потому что не знаю алгебры. Я хочу задать Вам вопрос, чтобы разобраться самому.

Рассмотрим для простоты только поля ковариантных векторов $\Phi_\mu$. Пусть $(\cdot)$ обозначает симметризацию, $[\cdot]$ антисимметризацию (так, по-моему, стандартнее). Однородности полей по координатам я не требую. Рассмотрим два уравнения:
1) $\partial_{(\mu}\Phi_{\nu)}=\partial_{\mu}\Phi_{\nu}+\partial_{\nu}\Phi_{\mu}=0$
2) $\partial_{[\mu}\Phi_{\nu]}=\partial_{\mu}\Phi_{\nu}-\partial_{\nu}\Phi_{\mu}=0$
Эти уравнения так похожи. Но разница между ними велика. Дифференциальный оператор из первого уравнения имеет конечномерное ядро, из второго — бесконечномерное.

Первое уравнение можно интерпретировать как уравнение Киллинга в декартовой системе координат в $\mathbb R^n$, а его решение — как поле скоростей твердого тела. Для примера, в $\mathbb R^3$ имеется шесть базисных полей Киллинга, соответствующих 3 поступательным и 3 вращательным движениям твердого тела:
$\delta_{1\mu}$, $\delta_{2\mu}$, $\delta_{3\mu}$, $\varepsilon_{1\mu\nu}x^{\nu}$, $\varepsilon_{2\mu\nu}x^{\nu}$, $\varepsilon_{3\mu\nu}x^{\nu}$.
Они и порождают ядро симметризованного дифференциального оператора, действующего на ковекторные поля в $\mathbb R^3$, которое, стало быть, шестимерно. (Кстати, первые три базисных поля — однородные степени 0, последние три поля — степени 1, хоть я этого и не требовал.)

Со вторым уравнением совсем другие ассоциации. Это условие потенциальности поля. Уравнение имеет в $\mathbb R^n$ общее решение $\Phi_{\mu}=\partial_{\mu}f$. Понятно, что тут ядро оператора будет бесконечномерно.

Из абстрактных алгебраических доказательств, подобных Вашему, я не понимаю, где проявляется разница между этими уравнениями. Можете ли Вы это объяснить?

[Утундрий]

(Оффтоп)

vanger в сообщении #848083 писал(а):

$[\cdot]$ означает симметризацию индексов

Зачем же настолько контр-интуитивно?