Распределение Б-Э-М

[druggist]

Для статистики Больцмана, которая является предельным случаем статистики Бозе-Эйнштейна (случай невырожденного ид. газа) распределение частиц по импульсам (форма нормированной кривой) не зависит от поля, другими словами остается тем же самым от точки к точке пространства, в котором заключен газ. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы или, что то же самое, число частиц. Это понятно, поскольку экспонента. А если мы захотим получить распределение Максвелла при наличии внешнего поля для вырожденного ид. газа бозонов, когда существенно отличие распределения БЭ от экспоненты? Вроде бы логично записать энергию частицы как $p^2/2m+u(x)$ подставить в формулу и проинтегрировать по координате. Интересно, что полуширина пика в распределении по импульсам должна будет как-то зависеть от координаты. С другой сстороны есть некоторые сомнения, можем ли мы написать для квантовой частицы данное выражение для энергии. Не припомню, где и в каких учебниках можно посмотреть нечто наподобие, хотелось бы услышать мыслей на сей счет

[Munin]

druggist в сообщении #848008 писал(а):

Вроде бы логично записать энергию частицы как $p^2/2m+u(x)$ подставить в формулу

Ну, всё правильно.

druggist в сообщении #848008 писал(а):

и проинтегрировать по координате

Стоп, а это-то зачем???

druggist в сообщении #848008 писал(а):

С другой сстороны есть некоторые сомнения, можем ли мы написать для квантовой частицы данное выражение для энергии.

Можем, можем.

druggist в сообщении #848008 писал(а):

Не припомню, где и в каких учебниках можно посмотреть нечто наподобие, хотелось бы услышать мыслей на сей счет

Например, в учебниках по ФТТ. Там рассматривается газ квазичастиц и та или иная квантовая статистика для него, и много с ней упражняются.

[druggist]

Munin в сообщении #848035 писал(а):

Стоп, а это-то зачем???

Ну, есть функция распределения, зависящая от двух переменных $x$ и $p$, интегрируем по координате - получаем распределение по импульсам, интегрируем по импульсам - получаем распределение по координате, то есть плотность. Хотя, конечно, ...
p.s. Что-то я немножко напутал. Если проинтегрировать по импульсам вместо формулы Больцмана для плотности просто будет другое выражение, очевидно похожее на БЭ, может, кто-то мгновенно берет интегралы, подскажет:) А вот интегрировать по координате, для получения аналога распределения Максвелла смысла, конечно, не имеет

[Munin]

druggist в сообщении #848062 писал(а):

Ну, есть функция распределения, зависящая от двух переменных $x$ и $p$, интегрируем по координате - получаем распределение по импульсам

Вообще-то распределение по импульсам можно получить, и не интегрируя ничего по координате. А выбирая заданную координату $x=x_0.$ Это будет распределение в заданной точке пространства (точнее, в малом объёме, в пределах которого распределение не меняется).

[druggist]

Если бы мы жили в импульсном, а не в координатном пространстве, тогда бы интегрирование имело смысл :)

[Munin]

Ну, наверное :-)

[druggist]

druggist в сообщении #848062 писал(а):

Если проинтегрировать по импульсам вместо формулы Больцмана для плотности просто будет другое выражение, очевидно похожее на БЭ, может, кто-то мгновенно берет интегралы, подскажет:)

Оказывается, этот случай (ид. газ бозонов во внешнем поле, так сказать, распределение Б-Э-Б) рассмотрен в:
Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин, "Термодинамика, Статистическая Физика и Кинетика",
см § 55. "Бозе-газ во внешнем поле", стр. 273
Интересно, что и в координатном пространстве как показывают формулы тоже должна быть конденсация, которая, естественно должна носить "приближенный характер":

Цитата:

Этот результат
имеет, однако, весьма приближенный характер, так как по мере уплот-
уплотнения частиц конденсата начинают играть все более существенную
роль, во-первых, квантовомеханические эффекты, ограничивающие
возможность такого уплотнения, связанные с соотношениями неопре-
неопределенности, и, во-вторых, наличие сил отталкивания между частица-
частицами, делающее газ неидеальным. Задача о поведении даже слабо неиде-
неидеального бозе-газа во внешнем поле является весьма сложной и до сих
пор нерешенной. Можно, однако, ожидать, что некоторое нарастание
плотности числа частиц в окрестности минимума потенциала будет
иметь место и при учете сил взаимодействия.

[Munin]

druggist в сообщении #848324 писал(а):

Оказывается, этот случай (ид. газ бозонов во внешнем поле, так сказать, распределение Б-Э-Б) рассмотрен в:
Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин, "Термодинамика, Статистическая Физика и Кинетика"

Я не сомневаюсь, что ещё в куче книг по статфизу.