Дифф. условие причинности (Боголюбова)

[idiot]

Прошу подтвердить правильность моих догадок о выводе формулы

$$\frac \delta {\delta g(x)} \left( \frac {\delta S(g)} {\delta g(y)} S^{\dagger} (g) \right) = 0 \quad x \le y \ \text{или} \ x \sim y$$

Правильно я понимаю, что в варьируемую формулу $1 + \delta S(g)S^\dagger(g)$ подставляется выражение $\delta S(g) = \int\limits_{y^0 > t} \frac {\delta S} {\delta g(y)} \delta g(y) dy$ и получается следующая цепочка равенств:

\begin{multline*} 0 = \frac \delta {\delta g(x)} (1 + \delta S(g)S^\dagger(g)) = \frac \delta {\delta g(x)} \int\limits_{y^0 > t} dy \ \delta g(y) \ \frac {\delta S} {\delta g(y)} S^\dagger(g) = \\ = \int\limits_{y^0 > t} dy \ \frac {\delta g(y)} {\delta g(x)} \ \frac {\delta S} {\delta g(y)} S^\dagger(g) \ + \int\limits_{y^0 > t} dy \ \delta g(y) \ \frac \delta {\delta g(x)} \left( \frac {\delta S} {\delta g(y)} S^\dagger(g) \right) \end{multline*}

$\frac {\delta g(y)} {\delta g(x)}$ превращается в четырехмерную дельта-функцию, равную нулю везде в области интегрирования в силу условий на $x$, а во втором интеграле мы говорим что $\frac \delta {\delta g(x)} \left( \frac {\delta S} {\delta g(y)} S^\dagger(g) \right)$ должно быть равно нулю в силу произвольности $\delta g(y)$?