Как "увидеть" множество интегрирования?

[geezer]

Рассматриваются тройные интегралы.

Вот пример из учебника Тер-Крикорова. Сам интеграл не важен,мне важно понять,как строить множество интегрирования.

Итак, сказано,что нужно взять интеграл по области, ограниченной плоскостями $ x + y + z = 1, x = 0, y= 0, z =0 $. Я,если честно,не понимаю,как далее они переходят к такому: $ \{ (x,y,z): 0<z<1-x-y, 0<y<1-x, 0<x<1 \} $,и не понимаю,почему это пирамида...

[Someone]

Нарисовать по заданным уравнениям не пробовали?

[ewert]

geezer в сообщении #847667 писал(а):

,и не понимаю,почему это пирамида...

Будем для начала проще. Вот есть область на плоскости, ограниченная тремя прямыми. Что это за область?...

[geezer]

ewert в сообщении #847687 писал(а):

Будем для начала проще. Вот есть область на плоскости, ограниченная тремя прямыми. Что это за область?...

Треугольник.

[Утундрий]

Или две полосы.

[ewert]

geezer в сообщении #847695 писал(а):

Треугольник.

Хорошо. Ну а чем трёхмерный случай отличается -- с принципиальной-то точки зрения?...

[geezer]

Ну я понять не могу, как изобразить,например, $ 0<z<1-x-y $

[Утундрий]

geezer в сообщении #847709 писал(а):

ак изобразить,например, $ 0<z<1-x-y $

Сообразить, что такое, например, $x + y + z = 1$

[geezer]

Утундрий писал(а):

Сообразить, что такое, например, $x + y + z = 1$

Я понимаю,что это равноценные записи. А как строить - не знаю.

[ewert]

geezer в сообщении #847709 писал(а):

Ну я понять не могу, как изобразить,например, $ 0<z<1-x-y $

А вот это -- уже следующий вопрос, сугубо технологический. Сперва эту пирамидку следует, да, именно нарисовать. Потом спроецировать на горизонтальную плоскость (не то чтоб обязательно, но это наиболее естественный способ, и в большинстве учебных задачек, хотя и не во всех -- наиболее адекватный); это позволит потом расставить пределы во внешнем двойном интеграле. Потом -- протыкать мысленно область всевозможными вертикальными прямыми (т.е. при всевозможных иксах и игреках) и отслеживать, при каком зете (в зависимости от икса и игрека) мы в область входим, а при каком выходим. Результаты, естественно, определяются уравнениями соответствующих поверхностей входа-выхода; они и дадут пределы интегрирования для самого внутреннего интеграла.

[provincialka]

Вообще вопрос "как представить себе область" довольно сложен. Но приведенный пример, мне кажется, не самый трудный. Вы ведь понимаете, что линейное уравнение $x+y+z=1$ задает плоскость? Вот и подумайте, в каких точках она пересекает оси координат. Которые по совместительству являются ребрами нашей фигуры.

[Brukvalub]

geezer в сообщении #847713 писал(а):

Утундрий писал(а):

Сообразить, что такое, например, $x + y + z = 1$

Я понимаю,что это равноценные записи. А как строить - не знаю.

Похоже, ТС не знает, как построить плоскость по ее уравнению в отрезках, вы ему про пирамиды Хеопса толкуете. Надо бы для начала с построением плоскости разобраться.

[geezer]

Я вроде разобрался, но не могу в одном моменте разобраться...

Вот задано множество: $ E = \{ (x,y,z) | y^2 \leqslant x, 2 \cdot x - y + z \leqslant 1, y + z \geqslant 1 \} $.

Первое и третье я изобразил, а вот как сюда вписывается плоскость - пока не понимаю. Подскажите,пожалуйста...