Замена в интеграле

[ИСН]

Чем Вам не нравятся доказательства через параметр, через ТФКП, и то, на которое я намекнул? Дайте угадаю: искусственностью?

[armez]

Всё нравится. Только несколько смущает относительная сила применяемых средств и относительная слабость результата. Хотелось бы простые утверждения доказывать просто.

[provincialka]

Результат совсем не такой уж слабый, если учесть,что функция по-разному задается на разных промежутках

[armez]

Результат - равенство нулю интеграла от элементарной функции в случае $|k|<=1$. Больше ничего не нужно.

[ИСН]

Ну а кто сказал, что это должно быть просто? Не все интегралы от элементарных функций берутся в элементарных. Тем самым, не все такие интегралы просты. Да посмотрите хоть на $\int\limits_0^\infty{sin kx - \sin x\over x}dx$. Элементарная функция? Уж куда как. Равен он нулю? Риторический вопрос. Просто ли это доказать, не то что для любого, а хоть для какого-нибудь одного $k\ne1$?

[RIP]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #847483 писал(а):

Просто ли это доказать, не то что для любого, а хоть для какого-нибудь одного $k\ne1$?

На самом деле очень просто (это Фруллани в чистом виде).

[armez]

ИСН, ответ - в вопросе: никто не сказал, что должен. Более того, никто не просил выражать неопределённый интеграл в элементарных функциях. Не хотелось бы повторяться, но интересует замена, сводящая определённый интеграл к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах (либо доказательство её отсутствия).

(Оффтоп)

Видимо, ИСН имеет в виду, что замена kx=t в первом из двух сходящихся интегралов - слишком сложное преобразование. В связи со своим вопросом я могу только приветствовать такой подход.

[ИСН]

(Оффтоп)

2 RIP: Так-то оно так. Но слово "просто" в контексте топика до сих пор было понимаемо в определённом узком смысле.

Скорее всего, доказательство её отсутствия среди элементарных функций (так же как и доказательство неберущести интеграла в оных - это не связанные вещи, но просто аналогия) ещё на несколько этажей сложнее, чем все перечисленные способы решения первоначальной задачи.

[armez]

ИСН, доказательство отсутствия будет принято с благодарностью, независимо от сложности. Выкладывайте.

[ИСН]

У меня его нет. Иначе бы я не предварял своё рассуждение оговоркой "скорее всего".

[armez]

А меня не смущает его гипотетическая сложность.

[svv]

armez в сообщении #847485 писал(а):

интересует замена, сводящая определённый интеграл к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах (либо доказательство её отсутствия).

Вам, конечно, нужна замена, которая выражается в элементарных функциях. Но если этого требования нет, тогда таких замен больше, чем надо.

Электростатический намёк ИСН я понял. Этот способ мне нравится. Он через теорему о среднем гармонической функции. Саму эту теорему можно получить из интегральной теоремы Грина.

[armez]

Конечно, в элементарных функциях лучше.
"Электростатический намёк" мне тоже понятен и нравится, как все известные решения задачи,
но k - фиксированный параметр (а не полярный радиус), и за пределы отрезка прямой
(в вещественную или комплексную плоскость) выходить пока не хочется.