2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разложение в ряд по НЕ ортогональным синусам
Сообщение08.04.2014, 18:33 
Аватара пользователя
Необходимо подобрать такие числа $T_n$, чтобы для $z\in(0,d)$ выполнялось следующее равенство:
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_n\sin\left(\pi\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{z}{d}\right)=\delta T\frac{z}{d}$$Нутром чую, что здесь замешаны ряды Фурье, однако на отрезке $(0,d)$ базис из синусов не ортогональный, а на отрезке $(0,2d)$ -- не полный. Поэтому найти координаты в этом базисе всего лишь взятием скалярного произведения функций не представляется возможным. А решать бесконечномерные СЛАУ я не умею. Пожалуйста, подскажите как найти коэффициенты, а ещё лучше чему они равны (формула нужна не для собственного развития, а для обсчёта результатов измерения).

Или, может быть, моя попытка решить уравнение теплопроводности была неудачной ещё до получения этого выражения?

 
 
 
 Re: Разложение в ряд по НЕ ортогональным синусам
Сообщение08.04.2014, 19:17 
Аватара пользователя
Сделайте замену $\frac{\pi}{2}\frac{z}{d}=x$, тогда $z\in(0,d)$ будет соответствовать $x\in(0,\frac{\pi}{2})$. Доопределите функцию $f(x)$ на оставшейся части $[-\pi, +\pi]$ так, чтобы она шла змейкой:
Изображение
Разложите $f(x)$ в ряд Фурье на $[-\pi, +\pi]$. Коэффициенты будут ненулевыми только при синусах и только нечетных гармоник.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд по НЕ ортогональным синусам
Сообщение08.04.2014, 19:58 
Аватара пользователя
Для $x\in(0,1)$ вроде так получается:
$$x=\frac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin\frac{\pi(2n+1)x}{2}$$Правильно?

 
 
 
 Re: Разложение в ряд по НЕ ортогональным синусам
Сообщение08.04.2014, 21:11 
Аватара пользователя
svv, спасибо.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд по НЕ ортогональным синусам
Сообщение09.04.2014, 15:29 
Аватара пользователя
Да, правильно. Проверил на компьютере. Это у Вас для змейки с единичной амплитудой.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group