Всеукраинский турнир матбоев 2007, 1-й матбой

[dm]

2-й Всеукраинский турнир математических боев им. М.И.Ядренко
Киев

Математический бой №1
29.10.2007
Младшая лига (8-9 класс)

1. Решить систему неравенств:

$$ \left\{\begin{aligned} 3x+2y+4z^2&{}\ge6,\\ 2x+y^2+4z^2&{}\le4,\\ x+4z+4z^2&{}\le0. \end{aligned}\right. $$

2. На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ соответственно таким образом,
что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в точке $K$. Из точки $K$ на стороны треугольник
опущены перпендикуляры. Через основы этих перпендикуляров на сторонах треугольника проведены
прямые $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, которые параллельны прямым, симметричным прямым $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ относительно биссектрис углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Доказать, что прямые $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ пересекаются в одной точке.

3. О заданных натуральных числах $m$ и $n$ известно, что $m+n>10$. Доказать, что существует такое натуральное число $k$, для которого $k<2^{m+n}$ и число $(1+2^m+2^n)k-2007$ делится на $2^{m+n}$.

4. Последовательность $(u_n)$ задана условиями: $u_0=0$, $u_1=\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}u_n=\frac{1}{2}(u_{n+1}+u_{n-1})$. Доказать, что для всех натуральных $n$ выполняется неравенство: $\lvert u_n\rvert\le1$.

5. Имеется $n$ книг, лежащих одна на другой. Занумеруем их $1,2,\ldots,n$. В каждом туре мы делаем $n$ ходов следующим образом~--- $i$-й ход заключается в том, что мы переворачиваем верхние $i$ книг как одно целое. После каждого тура мы аналогичным образом проводим следующий. Доказать, что после какого-то количества ходов мы придем к начальной расстановке всех книг.

6. Решить в натуральных числах уравнение:

$$ (x^2+2)(y^3+3)(z^2+4)=60xyz. $$

7. В трапеции $ABCD$ на боковых сторонах $AD$ и $BC$ как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках $M$ и $N$. Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции лежит на прямой $MN$.

8. Все клетки таблицы $n\times n$ раскрашены в белый и черный цвета. Известно, что к границе прилегает по крайней мере $n$ черных и $n$ белых клеток. Доказать, что найдется не менее $n$ разных пар соседних разноцветных клеток, возможно, пересекающихся.

9. Назовем число <<хорошим>>, если в его десятичной записи встречается ровно по одному разу каждая цифра из $1,2,\ldots,9$. Кроме того, цифры $1,2,\ldots,5$ размещены в порядке возрастания, а цифра 6~--- левее цифры 5. Найти количество всех <<хороших>> чисел.

10. Числа от 1 до 2007 записаны в ячейки ленты $1\times2007$. Двое игроков поочередно отмечают
ячейки данной ленты. Проигрывает тот, после хода которого существуют такие два натуральных числа $m<n$ , что
сумма чисел во всех отмеченных ячейках с номерами от $m$ к $n$ делится на 2008. Доказать, что существует
по крайней мере тысяча начальных расположений чисел в ячейках, таких что для любых натуральных
$i$ и $j$ таких, что $1\le i<j\le2007$, сумма чисел в ячейках с номерами $i,i+1,\ldots,j$ не делится на
2008, при которых первый игрок имеет выигрышную стратегию.

Математический бой №1
29.10.2007
Старшая лига (10-11 класс)

1. Решить систему уравнений:

$$ \left\{\begin{aligned} x(3y^2+1)&{}=y(y^2+3),\\ y(3z^2+1)&{}=z(z^2+3),\\ z(3x^2+1)&{}=x(x^2+3). \end{aligned}\right. $$

2. Все клетки таблицы $n\times n$ раскрашены в белый и черный цвета. Известно, что к границе прилегает по крайней мере $n$ черных и $n$ белых клеток. Доказать, что найдется не менее $n$ разных пар соседних разноцветных клеток, возможно, пересекающихся.

3. Для вещественных чисел $a,b,c\in[0,1]$ доказать неравенство:

$$ \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}+abc\le\frac{5}{2}. $$

4. Треугольник $ABC$ имеет острые углы при вершинах $A$ и $B$. На сторонах $AC$ и $BC$, как на основаниях, построены равнобедренные треугольники $ACD$ и $BCE$. Известно, что $\angle ADC=\angle ABC$, а $\angle BEC=\angle BAC$. Пусть $O$~--- центр окружности, описанный около треугольника $ABC$, а $P_{ABC}$~--- периметр треугольника $ABC$. Доказать, что если $OD+OE=P_{ABC}$, то треугольник $ABC$~--- прямоугольный.

5. Числа от 1 до 2007 записаны в ячейки ленты $1\times2007$. Двое игроков поочередно отмечают
ячейки данной ленты. Проигрывает тот, после хода которого существуют такие два натуральных числа $m<n$ , что
сумма чисел во всех отмеченных ячейках с номерами от $m$ к $n$ делится на 2008. Доказать, что существует
по крайней мере тысяча начальных расположений чисел в ячейках, таких что для любых натуральных
$i$ и $j$ таких, что $1\le i<j\le2007$, сумма чисел в ячейках с номерами $i,i+1,\ldots,j$ не делится на
2008, при которых первый игрок имеет выигрышную стратегию.

6. Дан треугольник $ABC$ с углом $\angle ACB<60^{\circ}$. Пусть точка $E$ выбрана на стороне $AC$ таким
образом, что $CE<BC$. Точка $D$ принадлежит отрезку $BC$ таким образом, что $\frac{AE}{BD}=\frac{BC}{CE}-1$.
Обозначим через $P$ точку пересечения прямых $AD$ и $BE$. Пусть окружности, описанные около
треугольников $AEP$ и $BDP$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Доказать, что прямые $QE$ и $BC$
параллельны.

7. Обозначим для произвольного натурального числа $m$ через $\sigma(m)$ сумму всех его делителей, а через
$\varphi(m)$~--- функцию Ейлера (количество натуральных чисел, не превышающих $m$ и взаимно простых с ним). Доказать, что существует бесконечно много таких натуральных чисел $n$, для которых выполняется неравенство: $\varphi(\sigma(n))>n$.

8. Дана последовательность многочленов $P_0(x),P_1(x),\ldots,P_n(x)$, $n\ge2$. Известно, что для каждого целого $i$ ($0\le i\le n$): $\deg(P_i(x))= n-i$, причем $P_n(x)\ne0$. Также известно, что для каждого целого $i$ ($2\le i\le n$) найдется многочлен $Q_i(x)$ такой, что $P_i(x)=P_{i-2}(x)+P_{i-1}(x)Q_i(x)$. Доказать, что если многочлены $R(x)$ и $S(x)$ удовлетворяют равенству $P_0(x)R(x)+P_1(x)S(x)=1$ для всех вещественных $x$, то $\deg(R(x))\ge n-2$ и $\deg(S(x))\ge n-1$. ($\deg P(x)$~--- степень многочлена $P(x)$.)

9. Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие уравнению:

$$ xf(y)-yf(x)=f\left(\frac{y}{x}\right). $$

10. На бесконечном листе бумаги в клетку 2006 сторон клеток окрашены в черный цвет,
а все другие~--- в белый. Разрешается выбирать некоторую клетку и перекрашивать все ее стороны в
противоположный цвет. Известно, что существует способ перекрасить в белый цвет все стороны клеток.
Обязательно ли для этого хватит:
а) 250000 перекрашиваний;
б) 260000 перекрашиваний?

Начало здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9720

[Tik-tak]

кто-то решил задачу 3 старшей лиги?

[arqady]

Tik-tak писал(а):

кто-то решил задачу 3 старшей лиги?

Она примитивная. Все частные производные левой части неотрицательны и поэтому максимум по каждой переменной достигается на концах отрезка.

[TOTAL]

arqady писал(а):

Tik-tak писал(а):

кто-то решил задачу 3 старшей лиги?

Она примитивная. Все частные производные левой части неотрицательны и поэтому максимум по каждой переменной достигается на концах отрезка.

У меня не получаются неотрицательными. (Производная по $a$ при $a=0, b=c=1$)

[arqady]

TOTAL писал(а):

У меня не получаются неотрицательными. (Производная по $a$ при $a=0, b=c=1$)

Пусть

$$f(a,b,c)= \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}+abc. $$

Тогда

$$\frac{\partial ^2f}{\partial a^2}=\frac{2bc^2}{(1+ac)^3}+\frac{2b^2c}{(1+ab)^3}\geq0.$$

[Tik-tak]

Я имел ввиду "школьное решение", а я уверен большинство из участников этих боёв не знают о частных производных. Делаю эти выводы потомучто знаком с ими

[TOTAL]

По-школьному:

$$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}+abc\le\frac{5}{2}$$

$$\frac{a+b+c}{1+abc}+abc\le\frac{5}{2}$$

$$2(a+b+c)+2abc+2a^2b^2c^2 \le 5 +5abc$$

$$2(a+b+c) \le 5 +abc$$

$$a+b+c \le 2 +abc$$

$$1+b+c \le 2 +bc$$

$$1+1+c \le 2 +c$$

- верно