Какой алгоритм исследования интегралов на сходимость?

[Ubermensch]

Я правильно понимаю, что наша цель - свести исходный интеграл к интегралу вида $\frac{1}{x^\alpha}$ и там уже определять в зависимости от $\alpha$?
Просто я смотрю примеры исследований и вижу в каждом примере разные способы. То переходят от исходной функции к большей, то находят пределы, то делают эквивалентные замены. Хотелось бы когда что нужно делать. Когда какие критерии использовать.

[Limit79]

Все зависит от исходного интеграла.

Если можно найти первообразную -- находят (хотя иногда проще не находить). Если нельзя, то другие методы.

[SpBTimes]

Ubermensch
в математике вообще очень мало универсальных подходов, уж особенно в "исследовании"

[Dan B-Yallay]

Limit79 в сообщении #846856 писал(а):

Я правильно понимаю, что наша цель - свести исходный интеграл к интегралу вида $\frac{1}{x^\alpha}$ и там уже определять в зависимости от $\alpha$?

Это частный случай одного из методов. В более общем случае (этого метода) - с помощью оценок сводят к интегралу от функции, про который уже точно известна сходимость/расходимость.
Также часто оценивают числовым рядом сверху (для сходимости) или снизу (показать расходимость).

-- Пн апр 07, 2014 11:31:17 --

(SpBTimes)

SpBTimes в сообщении #846864 писал(а):

в математике вообще очень мало универсальных подходов, уж особенно в "исследовании"

Я думаю, вопрос типа http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1% ... 0%B8%D0%B8

[Ubermensch]

То есть у меня в распоряжении есть некое количество теорем, критериев, приемов, и я должен с помощью их перейти к функции, про которую уже это все известно?

[Dan B-Yallay]

Ubermensch в сообщении #846874 писал(а):

То есть у меня в распоряжении есть некое количество теорем, критериев, приемов, и я должен с помощью их перейти к функции, про которую уже это все известно?

Как один из методов. Данный называется Comparison test. Есть еще Absolute Convergence test.
Другой путь вам уже сказали - найти первообразную и показать, что искомый интеграл сходится.

Наверное есть еще какие-то.