Сходимость несобственного интеграла

[PUMA]

Всем Доброго времени суток!
Исследовать на сходимость $ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$
Несобственный интеграл,в нуле имеет разрыв...
$ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx =\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-1}^{0-\epsilon}\frac{1}{x}dx + \lim_{\mu \to 0}\int_{0+\mu}^{1}\frac{1}{x}dx $
а дальше у меня получилось(по св-ам логарифмов):
$\lim_{\epsilon \to 0 \mu \to 0 } \ln \frac{\epsilon}{\mu}=0$ сходится
вопрос:верно ли?

[svv]

Нет. Пусть, например, $e$ и $\mu$ стремятся к нулю, но так, что $e=\mu^2$. Тогда
$\lim\limits_{\mu\to 0}\ln\frac{\mu^2}{\mu}=-\infty$
Если же $e=\mu$, то
$\lim\limits_{\mu\to 0}\ln\frac{\mu}{\mu}=0$
А когда «предел» зависит от способа устремления независимых переменных к предельным значениям, это называется «предел не существует».

Тем не менее, интеграл существует в некотором смысле. Встречали обозначение v.p.?

[Shtorm]

PUMA, так Вы сами себе поставили задачу - исследовать на сходимость или расходимость через предел функции 2-ух переменных? Или всё же нужно просто исследовать? Если просто, то и надо использовать стандартные ходы.

PUMA в сообщении #846651 писал(а):

$ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx =\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-1}^{0-\epsilon}\frac{1}{x}dx + \lim_{\mu \to 0}\int_{0+\mu}^{1}\frac{1}{x}dx $

Надо вот как:
$ \int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx =\lim\limits_{\epsilon \to 0-0} \int\limits_{-1}^{\epsilon}\frac{1}{x}dx + \lim\limits_{\mu \to 0+0}\int\limits_{\mu}^{1}\frac{1}{x}dx $

И далее каждый интеграл вычисляете отдельно друг от друга. Если оба интеграла сходятся, то сходится и исходный интеграл. Если оба интеграла расходятся, то расходится и исходный интеграл.

[Otta]

Shtorm в сообщении #846807 писал(а):

Если оба интеграла расходятся, то расходится и исходный интеграл.

Если хотя бы один расходится.

[_Ivana]

(Оффтоп)

svv в сообщении #846670 писал(а):

Встречали обозначение v.p.

Я, например, только главное значение в смысле Коши встречал. А v.p. это что-то англоязычное наверное...

[kp9r4d]

_Ivana
Французкое; «Valeur Principal» (главное значение).

[PUMA]

V.p. видела,но не помню почитаю.
Всем спасибо!

[Shtorm]

Otta в сообщении #846810 писал(а):

Если хотя бы один расходится.

Совершенно согласен с Вами и с учебником. Но и моё утверждение верное и не опровергает Ваше

[Otta]

Но и не исчерпывает все возможные ситуации.

[Shtorm]

Otta, согласен