Двойной интеграл. Площадь поверхности. Демидович

[amoral10]

Здраствуйте дорогие форумчане!
Столкнулся с интересной задачей на нахождение площади поверхности, а потом нашел эту задачу в более общей формулировке в Демидовича (Г.С. Бараненков, Б.П. Демидович и др. Задачи и упражнения по Математическому анализу для ВТУЗов, под. ред. Б.П. Демидовича, Наука, 1968) под №2214.

Итак задача: Найти площадь части поверхности цилиндра x^2+y^2=R^2 (z\geq 0), содержащуюся между плоскостями z=mx и z=nx (m>n>0).

Интересно, что эта задача уже обсуждалась на этом форуме здесь
Но я хочу привести свои рассуждения немножко шире.

Для начала, рисунок к задаче:


Итак, чтобы искать площадь поверхности, в учебниках обычно приводится формула:
S=\iint_S \sqrt{1+z'^2_x(x,y)+z'^2_y(x,y)}dxdy.
Здесь же, мы должны использовать одну из аналогичных формул для других пар независимых координат:
S=\iint_S \sqrt{1+y'^2_x(x,z)+y'^2_y(x,z)}dxdz или
S=\iint_S \sqrt{1+x'^2_y(y,z)+x'^2_z(y,z)}dydz

Для примера воспользуемся последней формулой. На области $D$ задана функция переменных $(y,z)$:
x=\sqrt{R^2-y^2}.
x'_y=\frac{-y}{\sqrt{R^2-y^2}}
x'_z=0
В следствии:
\sqrt{1+x'^2_y(y,z)+x'^2_z(y,z)}=\frac{R}{\sqrt{R^2-y^2}}.

Как выглядит область $D$ можно понять из рисунка:


Ищем площадь:

$$S=\int_{-R}^{R}dy\int_{n\sqrt{R^2-y^2}}^{m\sqrt{R^2-y^2}}\frac{Rdz}{\sqrt{R^2-y^2}}=R\int_{-R}^{R}dy (m-n)=(m-n)R y|_{-R}^{R}=2(m-n)R^2$$

Итак, мой ответ $S=2(m-n)R^2$.
НО... В Демидовича ответ на эту задачу: $4(m-n)R^2$. И меня терзают смутные сомнения...
Ошибся ли я где-то, или это в учебнике ошибка.

Когда независимыми переменными вибирать $(x,z)$, то получается тот-же ответ. Вот, кстати, как будет выглядить область в $(x,z)$

(Там должно быть видно черные линии на синем фоне, и интеграл по области берется дважды, поскольку есть еще проекция от противоположной стороны)

Интересно, что в теме здесь топикстартер в какой то момент согласился, что при параметрическом задании областей у него ответ совпал с учебником, но я, честно говоря, так и не понял их рассуждений в этом плане.

Что на это все скажете, дорогие форумчане?

[svv]

Вы нашли площадь только той части, у которой $x\geqslant 0, z\geqslant 0$. А ещё есть часть $x\leqslant 0, z\leqslant 0$.

Ещё один подход:
post745417.html#p745417

[Otta]

svv в сообщении #846663 писал(а):

Вы нашли площадь только той части, у которой $x\geqslant 0, z\geqslant 0$

У него в задаче оговорено $z\ge 0$.

[svv]

Ох, точно. Тогда берем простой случай $m=1, n=0, R=1$ и в уме находим $S=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\; d\varphi=2$, а не $4$.

[amoral10]

То есть, все таки 2. И это хорошо. Я только сходу не усек формулу $S=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\; d\varphi=2$ , но это наверное мне нужно вспомнить что-нибудь о сферических (цилиндрических) координатах.

[svv]

Да. В цилиндрических координатах наша площадь будет
$\int\limits_{\varphi=-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \int\limits_{z=z_1(\varphi)}^{z_2(\varphi)}R\;dz\;d\varphi=R\int\limits_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} (z_2(\varphi)-z_1(\varphi))\;d\varphi$,
где
$z_1(\varphi)=nx(\varphi)=nR\cos\varphi$
$z_2(\varphi)=mx(\varphi)=mR\cos\varphi$