Интересная задача

[rightways]

$a,n\in N. q\in P$ и $ (a^{n-1}-1,n)=1$. Докажите, что $a^{(n-1)q}-1$ не делится на $n$ .

[Руст]

Пусть $p$ произвольный простой делитель $n$.
Из первого условия $p\not |b=a^{n-1}$.
Если $rad(n)|b^q-1$, то для каждого простого делителя $p$ должно быть $q|p-1$ и $ b$ корень $q-$ ой степени из 1 по модулю p.
В этом случае $n-1$ так же делится на q. Поэтому для всех p число $a^{(n-1)/p}$ является корнем степени $q^2$ от 1 и все $q^2|p-1$.
Далее получаем, что все они делятся на $q^3$ и т.д.