Найдите элементарное решение

[rightways]

Число $ 5a^4+10a^2b^2+b^4 $ делится на $109$. Докажите, что оба натуральных $a$ и $b$ делятся на $109$.

[gris]

Самое элементарное — перебрать 11880 пар остатков и убедиться, что для любой пары выражение не делится на 109. И это так.

[nnosipov]

Пары остатков перебирать --- это явный перебор Достаточно доказать, что уравнение $x^4+10x^2+5=0$ не имеет решений в вычетах по модулю $109$.

[gris]

Ну перебором было бы проверить вообще все пары натуральных чисел .

[nnosipov]

Тут прикол в том, как обойтись вообще без перебора. Можно так: находим $x^{108}$ по модулю многочлена $x^4+10x^2+5$ и получаем ровно $108$. Значит, многочлены $x^{108}-1$ и $x^4+10x^2+5$ взаимно просты и, как следствие, последний не имеет корней.

[rightways]

Докажите, что утверждение верно для любого простого $p$ вида $p=5k+r$, где $1<r<5 , k\in N$.

[nnosipov]

Если $p \equiv 2 \pmod{5}$ или $p \equiv 3 \pmod{5}$, то это очевидно. Если $p \equiv 4 \pmod{5}$, то достаточно установить, что $x^{p-1}+1$ делится на $x^4+10x^2+5$.

[rightways]

докажите, что утверждение верно и для
CODE:   

$ a^4+b^4+4a^2b^2-3a^3b-2ab^3 $