Основы вариационного исчисления: тележка, лифт

[svv]

$s$ — натуральный параметр, длина дуги от начала кривой до данной точки (Ваше $l$).
$\mathbf p=\frac{d\mathbf r}{ds}$ — единичный касательный вектор.
$\mathbf r$ — радиус-вектор.

$\frac {d}{ds}v^2=2\frac{d\mathbf v}{ds}\cdot \mathbf v=2\frac{d\mathbf v}{ds}\cdot \mathbf p\frac{ds}{dt}=2\frac{d\mathbf v}{dt}\cdot \mathbf p=$
$=2(\mathbf g-\mathbf a)\cdot \mathbf p=2(\mathbf g-\mathbf a)\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}=\frac{d}{ds}(2(\mathbf g-\mathbf a)\cdot\mathbf r)$
Отсюда $v^2-2(\mathbf g-\mathbf a)\cdot\mathbf r=\operatorname{const}$.
Началом отсчета пусть будет точка на кривой, в которой шарик имеет нулевую скорость. Тогда
$v^2=2(\mathbf g-\mathbf a)\cdot\mathbf r=2(-\mathbf e_y g-\mathbf e_x a)\cdot(\mathbf e_x x +\mathbf e_y y)=2(-gy-ax)$
Найденную скорость надо подставить в
$T=\int\limits_0^L\frac{ds}{v}$

[AlexKaz]

К сожалению именно этот вариант выводится более простым языком из курса общей физики, и он уже отметён как не верный.

[AlexKaz]

В Вашем решении под корнем получается верная размерность $\frac{m^2}{c^2}$; осталось понять, что не устроило преподавателя? Но это случай для горизонтального движения тележки. А как быть с лифтом? $y=\frac{at^2}{2}$; $V^2=2gh=2gy=gat^2$. Формально размерность соблюдена.

[svv]

Вектор ускорения системы изменится с $\mathbf e_x a$ на $\mathbf e_y a$.
В результате изменится только одна строка:
$v^2=2(\mathbf g-\mathbf a)\cdot\mathbf r=2(-\mathbf e_y g-\mathbf e_x a)\cdot(\mathbf e_x x +\mathbf e_y y)=-2(gy+ax)$ (тележка)
$v^2=2(\mathbf g-\mathbf a)\cdot\mathbf r=2(-\mathbf e_y g-\mathbf e_y a)\cdot(\mathbf e_x x +\mathbf e_y y)=-2(g+a)y$ (лифт)
Иными словами, ускоряющийся вверх лифт — это просто большее ускорение свободного падения в его собственной системе отсчета.

Кстати, а нельзя с Вашим преподавателем поговорить, спросить, что не устраивает?

[AlexKaz]

Стоп! А почему "в его собственной системе отсчёта"? Классическая брахистохрона рассматривает абсолютную скорость в жёстко заданной системе координат, к тому же скорость находится энергетическим путём, а с помощью работы находится брахистохрона в среде с сопротивлением.

[AlexKaz]

AlexKaz в сообщении #838529 писал(а):

Кстати, а нельзя с Вашим преподавателем поговорить, спросить, что не устраивает?

1) Удобнее решать через ускорение;
2) Необходимо соблюдать размерности;
3) Есть жёстко заданная система координат, возможность искать приращение/убыль хотя бы потенциальной энергии;
4) Не забываем про "чутьё механика" и житейский опыт: когда мы едем в лифте, что мы испытываем?
P.S. Консультация преподавателя только на след. неделе.

[Oleg Zubelevich]

глуповатая какая-то постановка задачи, (как уже отмечалось svv) сводится к стандартной переходом в неинерциальную систему. Поскольку переносное ускорение постоянно, к потенциалу силы тяжести (если она есть) добавляется потенциал переносной силы инерции равный $m(\overline a_{\mbox{пер}},\overline r)$, где $\overline r$ -- радиус вектор точки в подвижной системе. Интеграл энергии имеет вид

$$\frac{1}{2}m|\overline v_{\mbox{отн}}|^2+m(\overline a_{\mbox{пер}}-\overline g,\overline r)=h$$

Далее $\overline r=\overline r(s)$ -- параметрическое уравнение кривой, $s$ -- необязательно натуральный параметр; $|\overline v_{\mbox{отн}}|^2=|\overline r'|^2|\dot s|^2$

Таже циклоида получится, ничего более

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #838561 писал(а):

глуповатая какая-то постановка задачи, (как уже отмечалось svv) сводится к стандартной переходом в неинерциальную систему.

А если ускорение переменное как заданная функция времени?
Или как функция положения частицы?

[Oleg Zubelevich]

на сей счет я имею сказать лишь следующее topic55301.html
написанное там не изменится, если к лагранжиану $L$ добавить член отвечающий за гироскопические силы

[Munin]

Оба-на. Задолго до. Спасибо.

[AlexKaz]

Возник один вопрос в дополнение к задаче с вертикальным лифтом. Предположим, лифт движется вниз, оба вектора ускорений сонаправлены. При достижении равенства ускорений будет наблюдаться невесомость, но что произойдёт, когда ускорение лифта больше ускорения свободного падения? Под корнем возникает отрицательный знак, наблюдатель в лифте должен видеть удаляющийся от него шарик? Но ОВИ не интересуют мнимые числа.

[svv]

В случае $\mathbf a=\mathbf g$ произойдет то же, что и в классической задаче о брахистохроне, если взять нулевое ускорение свободного падения.

Но сумма силы тяжести и инерции может быть ещё и направлена вверх! Чтобы придать смысл такой ситуации, можно считать, что шарик может свободно скользить по горке под действием силы тяжести или инерции, но не может отрываться от горки. Но даже в этом случае в качестве начальной придется брать нижнюю точку. Так что лучше такие условия считать некорректными.

Возможны и другие неприятности. Скажем, при форме горки, безобидной в случае просто силы тяжести, шарик может не докатиться до нижней точки в случае большого бокового ускорения тележки.

[AlexKaz]

Спасибо, вроде разобрался со всеми задачами. С горизонтально движущейся тележкой отходил от уравнения $\frac{d^2r}{d{t^2}}M=F(t,r,v), как итог формально размерности сходятся ($T^2={sek}^2$). С вертикальной тележкой имеем четыре случая движения, поэтому ускорения под корнем ставим в модуле.

[svv]

Очень хорошо.

1) Вы придаёте слишком большое значение совпадению размерностей. Но проверка размерностей — это только самая первая грубая проверка на элементарную осмысленность, далеко не на правильность формул.
2) отходил от исходил из

[Munin]

3) Секунды пишутся sec (seconds, secundae, secondes, secondi etc), если вы, конечно, не немец :-) По SI обозначение s.