Ядро функции и подпространство

[main.c]

Пусть $f$ - ненулевая линейная функция на векторном пространстве $V$ (не обязательно конечномерном), $U = Kerf$, доказать, что:
a). $U$ - максимальное подпространство $V$, т.е. не содержится ни в каком другом подпространстве отличном от $V$.
б). $V = U \oplus <a>$, для любого $a \notin U$.

Вот в этой задаче совсем нет идей. Просьба подсказать куда копать.

[RIP]

а) следует из б), а б) очевидно, если расшифровать запись $V=U\oplus\langle a\rangle$.

[main.c]

RIP в сообщении #844887 писал(а):

а) следует из б), а б) очевидно, если расшифровать запись $V=U\oplus\langle a\rangle$.

Ну чисто интуитивно я понимаю почему б) верно, но хотелось бы более подробного и строгого доказательства, это всё-таки математика .
Так, если я правильно понял Вашу подсказку и рассуждения в соседней теме, то доказательство будет таким:
Возьмём произвольный $x \in V$, рассмотрим некоторую ЛК:
$x - \frac{f(x)}{f(a)}a$, так как $f(x - \frac{f(x)}{f(a)}a) = f(x) - f(x)\frac{f(a)}{f(a)} = 0$, то $x - \frac{f(x)}{f(a)}a \in U$.
Другими словами: $x = \frac{f(x)}{f(a)}a + u, u \in U$, а значит $V = <a> + U$. Осталось доказать, что эта сумма прямая. А это следует из того, что $<a> \cap U = \{0\}$, так как $a \notin U$.

[svv]

Да.
$\forall x\in V\quad \exists \lambda : \quad x-\lambda a\in U$