Тождество

[arqady]

Докажите, что

$$ \tan^21^{\circ}+\tan^23^{\circ}+\tan^25^{\circ}+...+\tan^289^{\circ}=4005 $$

[Edward_Tur]

По мотивам М100 из Кванта - http://kvant.mccme.ru/1972/04/p46.htm

[Руст]

http://math.stackexchange.com/questions ... 2n-13?rq=1

[nnosipov]

Такие задачи имеют простой алгоритм решения --- достаточно найти вычеты подходящей рациональной функции. На школьный язык этот алгоритм тоже можно переложить, если не побояться технических сложностей типа суммирования бесконечных геометрических прогрессий. Интрига появляется, когда в подобных задачах присутствует дополнительный параметр. В этом случае не всегда ясно, находится ли сумма в "хорошем" замкнутом виде. Вот удачный пример такого рода (с какой-то Соросовской олимпиады):

$$ \sum_{j=1}^n \frac{\sin{\displaystyle \frac{\pi k(4j-3)}{2n}}} {1-\cos{\displaystyle \frac{\pi(4j-3)}{2n}}}=kn, \quad 1 \leqslant k \leqslant n. $$

Конечно, задача может иметь и короткое решение, основанное на разных "фокусах", но естественный и общий подход предпочтительнее.