Вопрос про свойство транспонированных матриц.

[ghetto]

Пусть $A, B$ матрицы такого размера, что $AB$ имеет смысл. Тогда $(AB)^t = B^t A^t$ где $t$ означает транспонирование(?).

Док-во(неполное):

Пусть $A = (a_{ij})$ and $B = (b_{jk})$. Тогда $AB = C = (c_{ik})$ где

$c_{ik} = a_{i1} b_{1k} + ... + a_{in} b_{nk}$

= $b_{1k} a_{i1} + ... + b_{nk} a_{in}$.

Пусть $A^t = ('a_{ji}), B^t = ('b_{kj} )$ и $C^t = ('c_{ki})$.

Тогда $'a_{ji} = a_{ij}, 'b_{kj} = b_{jk}$ и $'c_{ki} = c_{ik}$.

Не могу понять последнюю строчку. Обьясните, плиз, почему эти равенства верны. Спасибо.

[Ms-dos4]

Так транспонированные матрицы же. Если $\[A = {a_{ik}}\]$, то $\[{A^T} = {a_{ki}}\]$

[Munin]

Видимо, списал чего-то неправильно. Или штрих приписывать, или индексы переставлять. И то и другое вместе делать - не имеет смысла.

[svv]

Замените последние строки на такие, более ясные:

Пусть по определению
$'a_{ji}=(A^T)_{ji},\quad 'b_{kj}=(B^T)_{kj}, \quad 'c_{ki}=(C^T)_{ki}$.
Тогда
$'a_{ji} = a_{ij},\quad 'b_{kj} = b_{jk},\quad 'c_{ki} = c_{ik}$.

Это то, что хотел сказать автор доказательства. Теперь для формул в последней строке можно даже написать жутко подробный вывод:
$'a_{ji} = (A^T)_{ji}=(A)_{ij}=a_{ij}$

-- Ср апр 02, 2014 21:40:53 --

С использованием моих суперобозначений я бы всё доказательство записал так:
$((AB)^T)_{ki}=(AB)_{ik}=\sum\limits_j (A)_{ij}(B)_{jk}=\sum\limits_j (B^T)_{kj}(A^T)_{ji}=(B^T A^T)_{ki}$

[ghetto]

svv в сообщении #844724 писал(а):

Теперь для формул в последней строке можно даже написать жутко подробный вывод:
$'a_{ji} = (A^T)_{ji}=(A)_{ij}=a_{ij}$

-- Ср апр 02, 2014 21:40:53 --

С использованием моих суперобозначений я бы всё доказательство записал так:
$((AB)^T)_{ki}=(AB)_{ik}=\sum\limits_j (A)_{ij}(B)_{jk}=\sum\limits_j (B^T)_{kj}(A^T)_{ji}=(B^T A^T)_{ki}$

Наис. Для таких как я все надо разьяснять до жути подробно.

Всем Спасибо.

[ghetto]

Хотелось бы уточнить: $A$, $B$, $C$ - это квадратные матрицы? Трансп. матрица $A^T$равняется $A$ только если $A$- квадратная матрица насколько я знаю.

[patzer2097]

ghetto в сообщении #845530 писал(а):

Хотелось бы уточнить: $A$, $B$, $C$ - это квадратные матрицы?

в Вашем утверждении - нет, любые, лишь бы $AB$ было определено. Что такое $C$, я не понял, а равенство $A=A^\top$ к Вашему утверждению отношения не имеет

[ghetto]

patzer2097 в сообщении #845533 писал(а):

ghetto в сообщении #845530 писал(а):

Хотелось бы уточнить: $A$, $B$, $C$ - это квадратные матрицы?

в Вашем утверждении - нет, любые, лишь бы $AB$ было определено. Что такое $C$, я не понял, а равенство $A=A^\top$ к Вашему утверждению отношения не имеет

Я имею ввиду этот момент:

svv в сообщении #844724 писал(а):

Это то, что хотел сказать автор доказательства. Теперь для формул в последней строке можно даже написать жутко подробный вывод:

$(A^T)_{ji}=(A)_{ij}$

[provincialka]

Здесь же не матрицы приравниваются, а их элементы

[ghetto]

provincialka в сообщении #845541 писал(а):

Здесь же не матрицы приравниваются, а их элементы

Eсли элемент $a_{23} = 5$ транспонировать/перенести на новое место $a_{32}$, то 5 от этого не перестанет быть пятеркой. Я Вас правильно понимаю?

[provincialka]

Правильно. Только элемент нельзя "транспонировать". Запись означает, что транспонированная матрицы состоит из тех же элементов, только записанных в другом порядке.

[ghetto]

provincialka в сообщении #845552 писал(а):

Правильно. Только элемент нельзя "транспонировать". Запись означает, что транспонированная матрицы состоит из тех же элементов, только записанных в другом порядке.

Спасибо.