2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение02.04.2014, 20:41 
Пусть $A, B$ матрицы такого размера, что $AB$ имеет смысл. Тогда $(AB)^t = B^t A^t$ где $t$ означает транспонирование(?).

Док-во(неполное):

Пусть $A = (a_{ij})$ and $B = (b_{jk})$. Тогда $AB = C = (c_{ik})$ где

$c_{ik} = a_{i1} b_{1k} + ... + a_{in} b_{nk}$

= $b_{1k} a_{i1} + ... + b_{nk} a_{in}$.

Пусть $A^t = ('a_{ji}), B^t = ('b_{kj} )$ и $C^t = ('c_{ki})$.

Тогда $'a_{ji} = a_{ij}, 'b_{kj} = b_{jk}$ и $'c_{ki} = c_{ik}$.

Не могу понять последнюю строчку. Обьясните, плиз, почему эти равенства верны. Спасибо.

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение02.04.2014, 20:43 
Так транспонированные матрицы же. Если $\[A = {a_{ik}}\]$, то $\[{A^T} = {a_{ki}}\]$

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение02.04.2014, 21:04 
Аватара пользователя
Видимо, списал чего-то неправильно. Или штрих приписывать, или индексы переставлять. И то и другое вместе делать - не имеет смысла.

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение02.04.2014, 22:09 
Аватара пользователя
Замените последние строки на такие, более ясные:

Пусть по определению
$'a_{ji}=(A^T)_{ji},\quad 'b_{kj}=(B^T)_{kj}, \quad 'c_{ki}=(C^T)_{ki}$.
Тогда
$'a_{ji} = a_{ij},\quad  'b_{kj} = b_{jk},\quad 'c_{ki} = c_{ik}$.

Это то, что хотел сказать автор доказательства. Теперь для формул в последней строке можно даже написать жутко подробный вывод:
$'a_{ji} = (A^T)_{ji}=(A)_{ij}=a_{ij}$

-- Ср апр 02, 2014 21:40:53 --

С использованием моих суперобозначений я бы всё доказательство записал так:
$((AB)^T)_{ki}=(AB)_{ik}=\sum\limits_j (A)_{ij}(B)_{jk}=\sum\limits_j (B^T)_{kj}(A^T)_{ji}=(B^T A^T)_{ki}$

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение03.04.2014, 02:22 
svv в сообщении #844724 писал(а):
Теперь для формул в последней строке можно даже написать жутко подробный вывод:
$'a_{ji} = (A^T)_{ji}=(A)_{ij}=a_{ij}$

-- Ср апр 02, 2014 21:40:53 --

С использованием моих суперобозначений я бы всё доказательство записал так:
$((AB)^T)_{ki}=(AB)_{ik}=\sum\limits_j (A)_{ij}(B)_{jk}=\sum\limits_j (B^T)_{kj}(A^T)_{ji}=(B^T A^T)_{ki}$


Наис. Для таких как я все надо разьяснять до жути подробно.

Всем Спасибо.

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение04.04.2014, 23:57 
Хотелось бы уточнить: $A$, $B$, $C$ - это квадратные матрицы? Трансп. матрица $A^T$равняется $A$ только если $A$- квадратная матрица насколько я знаю.

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение05.04.2014, 00:02 
ghetto в сообщении #845530 писал(а):
Хотелось бы уточнить: $A$, $B$, $C$ - это квадратные матрицы?
в Вашем утверждении - нет, любые, лишь бы $AB$ было определено. Что такое $C$, я не понял, а равенство $A=A^\top$ к Вашему утверждению отношения не имеет

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение05.04.2014, 00:15 
patzer2097 в сообщении #845533 писал(а):
ghetto в сообщении #845530 писал(а):
Хотелось бы уточнить: $A$, $B$, $C$ - это квадратные матрицы?
в Вашем утверждении - нет, любые, лишь бы $AB$ было определено. Что такое $C$, я не понял, а равенство $A=A^\top$ к Вашему утверждению отношения не имеет



Я имею ввиду этот момент:

svv в сообщении #844724 писал(а):
Это то, что хотел сказать автор доказательства. Теперь для формул в последней строке можно даже написать жутко подробный вывод:

$(A^T)_{ji}=(A)_{ij}$

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение05.04.2014, 00:16 
Аватара пользователя
Здесь же не матрицы приравниваются, а их элементы

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение05.04.2014, 00:29 
provincialka в сообщении #845541 писал(а):
Здесь же не матрицы приравниваются, а их элементы


Eсли элемент $a_{23} = 5$ транспонировать/перенести на новое место $a_{32}$, то 5 от этого не перестанет быть пятеркой. Я Вас правильно понимаю?

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение05.04.2014, 00:44 
Аватара пользователя
Правильно. Только элемент нельзя "транспонировать". Запись означает, что транспонированная матрицы состоит из тех же элементов, только записанных в другом порядке.

 
 
 
 Re: Вопрос про свойство транспонированных матриц.
Сообщение05.04.2014, 03:58 
provincialka в сообщении #845552 писал(а):
Правильно. Только элемент нельзя "транспонировать". Запись означает, что транспонированная матрицы состоит из тех же элементов, только записанных в другом порядке.


Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group