Базис сопряжённого пространства.

[main.c]

Пусть $V = R_n[x]$, а отображение $\alpha^a, a \in R$ задано так:

$\alpha^a(f) = f(a)$

Нужно доказать, что стстема $\alpha^0, \alpha^1, ..., \alpha^n$ является базисом сопряжённого к $V$ пространства.
Пойдём прямо по определению базиса, докажем, что эта система ЛНЗ. И вот тут я не понимаю, как действовать дальше. В ответах есть подсказка, рассмотреть многочлены $1, x, ..., x^n$. Но я этой подсказки я тоже не понимаю.

[mihailm]

main.c в сообщении #844228 писал(а):

...
Пойдём прямо по определению базиса, докажем, что эта система ЛНЗ. И вот тут я не понимаю, как действовать дальше...

Тут немного непонятно, то что эта система линейно независима уже доказано или надо еще доказать?
Если это доказано, то исходя из общих соображений - это базис.
Скорее всего это надо доказать. Берем нетривиальную линейную комбинацию и ищем многочлен на котором она не равна нулю

[main.c]

Так, взял ЛК:
$x_0\alpha^0(f) + ... + x_n\alpha^n(f) = 0$
$x_0f(0) + ... + x_nf(n) = 0$

Теперь рассмотрим многочлены $1, x, ..., x^n$, подставив их вместо $f$ получим СЛАУ отностильно коэффициентов ЛК:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & 1 & \cdots & n\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 1^n & \cdots & n^n \end{pmatrix}$
Если эта матрица не вырождена, то эта СЛАУ имеет только тривиальное решение.
Определитель этой матрицы равен определителю матрицы
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \cdots & n\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 1^n & 2^n & \cdots & n^n \end{vmatrix}$
Нам достаточно знать, равен или не равен нулю определитель, поэтому разделим каждый столбец на число равное номеру столбца, получим:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1^1 & 2^1 & \cdots & n^1\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 1^{n-1} & 2^{n-1} & \cdots & n^{n-1} \end{vmatrix}$
А это определитель Вандермонда, в данном случае он не равен 0, а значит матрица не вырождена, а из этого следует, что $x_0 = x_1 = ... = x_n = 0$.
Вроде ошибок не вижу.

[mihailm]

Нормально.
Проще (с моей точки зрения конечно) подобрав нехитрый многочлен сразу доказать, что всякий $x_i$ равен нулю, ну да ладно.

[svv]

Ещё один вариант.

Сначала надо доказать утверждение (если оно не очевидно). Пусть
$n=\dim V=\dim V^*$

$b_1, b_2, ... , b_n\in V$

$\beta^1, \beta^2, ... , \beta^n\in V^*$

$\beta^i(b_k)=\delta^i_k$
Тогда $\langle \beta^i \rangle$ линейно независимы, $\langle b_k\rangle$ тоже. Поэтому каждый из наборов будет базисом в своем пространстве.

Применительно к нашей задаче. Если мы покажем, что существует набор из $\dim V$ полиномов $f_k(x)$, таких, что $\alpha^i(f_k)=f_k(x_i)=\delta^i_k$ (т.е. в $k$-й точке только $k$-й полином равен $1$, остальные $0$), то всё доказано. А для этого достаточно вспомнить, что есть интерполяционная формула Лагранжа, которая единственным образом восстанавливает полином $n$-й степени по его значениям в $n+1$ различных точках (даже без деталей устройства формулы).

[mihailm]

Это переформулировка (или расшифровка) моего предложения: подобрать соответствующий многочлен. Лагранж тут (несмотря на его тривиальность) слишком жирно.

[svv]

mihailm в сообщении #844348 писал(а):

Это переформулировка (или расшифровка) моего предложения

Простите меня за это.

mihailm в сообщении #844348 писал(а):

Лагранж тут (несмотря на его тривиальность) слишком жирно.

Простите меня за это.

[mihailm]

(Оффтоп)

Паясничать не обязательно