Взаимный базис

[main.c]

В пространстве $R^3$ задан базис $\{e_1 = (1, 1, 0), e_2 = (1, 0, 1), e_3 = (0, 0, 1)\}$ и записаны 3 линейные функции в этом базисе:
$f^1(x) = x_1 + 2x_2 + 3x_3 , f^2(x) = 2x_1 + 3x_2 + x_3 , f^3 (x) = 3x_1 + 2x_2 + x_3$
Найти взаимный базис к {$f^1, f^2, f^3$}.

Я сначала составил матрицу, строками которой являются координаты линейных функций, и нашёл обратную матрицу. По идее столбцы этой матрицы это координаты векторов, которые составляют взаимный базис к $\{f^1, f^2, f^3\}$. Но с ответом не страстается, что я делаю не так? Ещё меня смущает то, что я никак не использую базис $\{e_1, e_2, e_3\}$.

[mihailm]

Взаимный базис он из чего состоит-то?

[main.c]

mihailm в сообщении #843821 писал(а):

Взаимный базис он из чего состоит-то?

Из векторов

[mihailm]

Пусть первый вектор взаимного базиса имеет координаты $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$. Каким условиям они должны удовлетворять?

[main.c]

mihailm в сообщении #843852 писал(а):

Пусть первый вектор взаимного базиса имеет координаты $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$. Каким условиям они должны удовлетворять?

Если обозначить его за $a$, то тогда $f^1(a) = 1, f^2(a) = 0, f^3(a) = 0$

[mihailm]

А на альфы то какие это условия накладывает?

[main.c]

mihailm в сообщении #843878 писал(а):

А на альфы то какие это условия накладывает?

$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = 1$
$2a_1 + 3a_2 + a_3 = 0$
$3a_1 +2a_2 + a_3 = 0$

Или я не так понимаю Ваш вопрос?

[mihailm]

Все правильно. Находите таким же образом и координаты оставшихся векторов взаимного базиса

-- Пн мар 31, 2014 22:17:45 --

Не до конца оказывается дочитал ваш вопрос, теперь дочитал)
Найдете координаты - посчитайте сам вектор базиса, т.е. $\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3$

[main.c]

mihailm в сообщении #843893 писал(а):

Все правильно. Находите таким же образом и координаты оставшихся векторов взаимного базиса

Нашёл, я находил через обратную матрицу, получилось, что
$v_1 = \frac{1}{12}(-1, -1, 5)$
$v_2 = \frac{1}{3}(-1, 2, -1) $
$v_3 = \frac{1}{12}(7, -5, 1)$

-- 31.03.2014, 22:35 --

mihailm в сообщении #843893 писал(а):

Найдете координаты - посчитайте сам вектор базиса, т.е. $\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3$

Не совсем Вас понимаю, вот я нашёл вектора, теперь Вы предлагаете разложить их по базису $\{e_1, e_2, e_3\}$ ?

[svv]

Нет, Вы и так нашли разложение $\{v_1, v_2, v_3\}$ по базису $\{e_1, e_2, e_3\}$, потому что именно в нем были заданы ковекторы $f^1, f^2, f^3$. А надо найти разложение $\{v_1, v_2, v_3\}$ по тому базису («исходному»), в котором был задан базис $\{e_1, e_2, e_3\}$.

[main.c]

svv в сообщении #843915 писал(а):

Нет, Вы и так нашли разложение $\{v_1, v_2, v_3\}$ по базису $\{e_1, e_2, e_3\}$, потому что именно в нем были заданы ковекторы $f^1, f^2, f^3$. А надо найти разложение $\{v_1, v_2, v_3\}$ по тому базису («исходному»), в котором был задан базис $\{e_1, e_2, e_3\}$.

Так, получается, что:
$v_1 = \frac{1}{12} \left( -1\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} - 1\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} +5\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{12}\begin{pmatrix} -2\\-1\\4 \end{pmatrix}$
Это разложение в стандартном базисе.
Ну и так далее другие вектора, да?
Просто если да, то с ответом снова не сходится.

[mihailm]

main.c в сообщении #843928 писал(а):

...
Так, получается, что:
$v_1 = \frac{1}{12} \left( -1\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} - 1\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} +5\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{12}\begin{pmatrix} -2\\-1\\4 \end{pmatrix}$...

Идейно верно - это должен быть первый вектор взаимного базиса. Вычисления тоже вроде нормальные

[svv]

А что в ответе? Попробуем понять, о чем думал автор задачи.

[main.c]

svv в сообщении #843944 писал(а):

А что в ответе? Попробуем понять, о чем думал автор задачи.

Ответ:
$\frac{1}{18}(-4, -5, 8), \frac{1}{18}(8, 1, 2), \frac{1}{18}(2, 7, -4)$

[mihailm]

main.c в сообщении #844143 писал(а):

Ответ:
$\frac{1}{18}(-4, -5, 8), \frac{1}{18}(8, 1, 2), \frac{1}{18}(2, 7, -4)$

Если опечатки (отличия данных в задаче от приведенных тут) сразу не не видны, то надо разложить приведенные в ответе вектора по заданному базису и смотреть что там за координаты получаются.