2 правильные пирамиды.

[lampard]

Две правильные пирамиды $DABC$ и $F ABC$ имеют общее основание $ABC$ и расположены по
разные стороны от него. Все плоские угла при вершинах $D$ и $F$ прямые. Боковое ребро каждой
пирамиды равно $1$.
1) Вычислите угол между $(AD)$ и $(BCF)$;
2) угол между $(ACD)$ и
$(BCF)$

Решить нужно, НЕ используя метод координат.

1) Нужно найти угол между прямой $AD$ и ее проекцией на плоскость $BCF$. Но куда попадут проекции точек $A$ и $D$? Можно сделать параллеьный перенос прямой $AD$, но куда именно и как, как свести задачу к планиметрической наиболее адекватно?

[TOTAL]

lampard в сообщении #843463 писал(а):

как свести задачу к планиметрической наиболее адекватно?

Псмотрите на фигуру, расположив глаз так, чтобы $BC$ казалась точкой.

[lampard]

-- 31.03.2014, 12:24 --

TOTAL в сообщении #843467 писал(а):

Псмотрите на фигуру, расположив глаз так, чтобы $BC$ казалась точкой.

Спасибо, вижу это так, но как дальше?
1) Проекция точки $D$ а на плоскость $BCF$, похоже, должна попадать на отрезок$BC$, а именно в его середину, верно ли это?
2) Проекция точки $A$ должна попадать в точку $F$, верно ли это?

[provincialka]

В п. 1 искомый угол складывается из двух: угол между ребром $AD$ и основанием и угол между гранью $BCF$ и основанием. Правда, сумма получится больше $90^\circ$, так что ответом можно считать угол, дополняющий ее до $180^\circ$. На вашей второй картинке описанные мной углы - это также углы треугольника $AFB$, , вернее, треугольника $AFM$, где $M$ - середина $BC$.

-- 31.03.2014, 13:31 --

Нет, не сумма, разность! Ведь направление углов от основания к грани и к ребру противоположны.

[TOTAL]

lampard в сообщении #843475 писал(а):

TOTAL в сообщении #843467 писал(а):

Псмотрите на фигуру, расположив глаз так, чтобы $BC$ казалась точкой.

Спасибо, вижу это так, но как дальше?

Что Вы прицепились к проекциям? В нарисованных треугольниках известны все стороны, поэтому находите все углы (искомый - это между $AD$ и $FB$)

[lampard]

provincialka в сообщении #843478 писал(а):

В п. 1 искомый угол складывается из двух: угол между ребром $AD$ и основанием и угол между гранью $BCF$ и основанием. Правда, сумма получится больше $90^\circ$, так что ответом можно считать угол, дополняющий ее до $180^\circ$. На вашей второй картинке описанные мной углы - это также углы треугольника $AFB$, , вернее, треугольника $AFM$, где $M$ - середина $BC$.

-- 31.03.2014, 13:31 --

Нет, не сумма, разность! Ведь направление углов от основания к грани и к ребру противоположны.

А почему разность, откуда это следует?

[provincialka]

Ну, берем отрезок $FM$ и поворачиваем его на угол $\varphi_1$, чтобы "уложить" на плоскость основания. А дальше, чтобы совместить его с $AD$, придется вращать его в обратную сторону на угол $\varphi_2$, так что окончательный угол поворота одного в другое будет разностью $|\varphi_1-\varphi_2|=\varphi_2-\varphi_1$

[lampard]

Можно ли просто взять и провести плоскость через точки $A$, $D$, $G$, где $G$ -- середина $BC$, тогда углом между плоскостью $BCF$ и прямой $AD$ будет угол $GFE$, где $ADEF$ -- ромб, точка $E$ выбрана так, что $FE=AD=AF=DE$.

$AG$ -- высота правильного треугольника со стороной $\sqrt{2}$, потому $AG=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$AO=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$, потому

$AE=2AO=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$

$GE=AE-AG=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$

Рассмотрим треугольник $FGE$

$GE=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ ; $FE=1$; $FG=\sqrt{1-0,5}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

По теореме косинусов находим искомый угол. Верно ли это?

-- 31.03.2014, 13:06 --

$\dfrac{1}{6}=1,5-\sqrt{2}\cos\varphi$

$\cos\varphi=\dfrac{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}{\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$

-- 31.03.2014, 13:08 --

provincialka в сообщении #843491 писал(а):

Ну, берем отрезок $FM$ и поворачиваем его на угол $\varphi_1$, чтобы "уложить" на плоскость основания. А дальше, чтобы совместить его с $AD$, придется вращать его в обратную сторону на угол $\varphi_2$, так что окончательный угол поворота одного в другое будет разностью $|\varphi_1-\varphi_2|=\varphi_2-\varphi_1$

Пока, что и это не очевидно, буду думать, спасибо. То есть -- что сделать и как посчитать -- понял, но не очевидно пока что - почему именно разность в зависимости от направлений поворота.

[provincialka]

Картинка красивая. И как раз получается разность тех самых углов. Их можно рассматривать как углы в точке $G$ и в точке $E$. Или $A$. Кстати, это острые углы прямоугольного треугольника, так как угол $AFG=\frac\pi2$

-- 31.03.2014, 14:19 --

У меня получился другой ответ.

[lampard]

Спасибо.то есть у меня в арифметике ошибка?

[provincialka]

А, может, у меня. Я особо не проверяла.

[lampard]

provincialka в сообщении #843617 писал(а):

А, может, у меня. Я особо не проверяла.

$\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$?

[provincialka]

У меня получилось $\cos\varphi =\frac{2\sqrt2}{3}$

-- 31.03.2014, 22:04 --

Да, это совпадает с $\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$