Объем, интегралы

[lampard]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами. Попытки решения ниже

1) Найти объем тела, огранич. поверхностями $3x^2+7y^2+\frac{19}{6}=z;\;\;\;9x^2+\frac{4y^2}{9}=1;\;\;\;\;z=3$
-----------------

Гиперболический параболоид, цилиндр, плоскость

$\begin{cases} x=3\rho\cos\varphi, \\ y=1,5\rho\sin\varphi, \\ z=z. \end{cases}$

$V=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}4,5\rho d\rho \int\limits_{3}^{27\rho^2\cos^2\varphi+7\cdot(1,5)^2\rho^2\sin^2\varphi+\frac{19}{6}}dz$

Верно ли составлен интеграл? Якобиан $4,5\rho$

2) Найти объем тела, если $x^2+y^2+z^2+8x-4z\le 5$, $(x+4)^2+y^2\ge (z-2)^2;\;\;\; y-4\ge x$

Перепишем первое неравенство в виде $(x+4)^2+y^2+(z-2)^2\le 5^2$ -- сфера с центром в точке $(-4;0;2)$, радиусом $5$ и ее внутренность.

$(x+4)^2+y^2\ge (z-2)^2$ внутренность конуса с вершиной в точке $(-4;0;2)$.

$y-4\ge x $ распил плоскостью трехмерного пространства на 2 части, одна из которых нас интересует.

Есть идея перейти к сферическим координатам

$\begin{cases} x+4=r\sin\theta\cos\varphi, \\ y=r\sin\theta\sin\varphi, \\ z-2=r\cos\theta. \end{cases}$

$|J|=r^2\sin\theta$

$V=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}d\varphi \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta d\theta \int\limits_{0}^{5}r^2dr$

Можно учесть $y-4\ge x $ как $\sin\varphi \ge \cos\varphi $, то есть $\frac{\pi}{4}\le \varphi \le \frac{5\pi}{4}$?

Нарисовать не получается, эта плоскость все портит(

[provincialka]

Первое задание:

lampard в сообщении #842827 писал(а):

Гиперболический параболоид

Нет, не гиперболический. Из каких соображений выбрали коэффициенты 3 и 1,5? Похоже, что из разных

[lampard]

provincialka в сообщении #842831 писал(а):

Первое задание:

lampard в сообщении #842827 писал(а):

Гиперболический параболоид

Нет, не гиперболический. Из каких соображений выбрали коэффициенты 3 и 1,5? Похоже, что из разных

Спасибо. ТОчно, Эллиптический параболоид. Ой, там $1/3$, а остальное -- верно?

[provincialka]

Вроде верно.
Во втором задании вы не учли, что конус имеет две половины, соединенные в вершине. В принципе, плоскость $x+4=y$ делит вашу фигуру на 2 равные части. Вместо этого можно было бы взять просто верхнюю часть конуса: ответ будет тот же. Но не будет показано хорошее владение сферической системой координат.

[lampard]

provincialka в сообщении #842903 писал(а):

Вроде верно.
Во втором задании вы не учли, что конус имеет две половины, соединенные в вершине. В принципе, плоскость $x+4=y$ делит вашу фигуру на 2 равные части. Вместо этого можно было бы взять просто верхнюю часть конуса: ответ будет тот же. Но не будет показано хорошее владение сферической системой координат.

Действительно, забыл про нижнюю часть

Условие $(x+4)^2+y^2\ge (z-2)^2$ будет выглядеть так $\sin^2\theta\le \cos^2\theta$ значит $\theta\in [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}]$

[provincialka]

Просто умножьте на 2, в силу симметрии.

[lampard]

provincialka в сообщении #842947 писал(а):

Просто умножьте на 2, в силу симметрии.

Спасибо, а остальное -- верно?

[provincialka]

Насколько я могу судить в 2 часа ночи ... Впрочем, присмотритесь к значениям $\theta$. Вы взяли замену, в которой широта отсчитывается от полюса. Я, честно говоря, предпочитаю считать от экватора. В любом случае значения этого угла не могут быть больше, чем $\pi$.

[lampard]

Спасибо! Тогда $\theta\in [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]\cup [-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}] $?

[provincialka]

lampard в сообщении #843069 писал(а):

Тогда

Это когда? Вы сохраняете свой вариант сферических координат или нет? Давайте дальше сами.