Комплексные числа, доказать равенство

[oxid]

Такая задача
Доказать, что всякое комплексное число z, отличное от -1, модуль которого 1, может быть представлено в форме
$z=\frac{1+ti}{1-ti}

Что я сделал - представил числитель и знаменатель в тригонометрической форме.

$z=\frac{1+ti}{1-ti} = \frac{r_1(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))}{r_1(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))}=\cos(2\varphi)+i\sin(2\varphi)
$\cos(2\varphi)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$
$\sin(2\varphi)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$

Отсюда следует что модуль равен 1, но как доказать все сотальное не понимаю ;(

[мат-ламер]

oxid в сообщении #842716 писал(а):

может быть представлено в форме
$z=\frac{1+ti}{1-ti}$

Найдите $t$ из этого выражения. Если по условию требовалось, то проверьте его на действительность (учитывая единичный модуль $z$).

[Shtorm]

$z=\frac{1+ti}{1-ti}=\frac{(1+ti)^2}{1+t^2}=\frac{(1-t)^2}{1+t^2}+\frac{(2ti)}{1+t^2}$

Таким образом:
$a=\frac{(1-t)^2}{1+t^2},\ b=\frac{(2t)}{1+t^2}$

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Подставляете и преобразовываете.

[Otta]

Shtorm, никто не просил доказывать, что число такого вида имеет единичный модуль.

(Оффтоп)

И не решайте задачи за студентов, дайте им самим подумать.

[apriv]

oxid в сообщении #842716 писал(а):

Такая задача
Доказать, что всякое комплексное число z, отличное от -1, модуль которого 1, может быть представлено в форме
$z=\frac{1+ti}{1-ti}

По теореме Гильберта 90 любой комплексное число $z$ с модулем 1 может быть представлено в виде
$z = w/\overline{w}$. Если $w$ чисто мнимое, то $z=-1$, иначе можно поделить числитель и знаменатель на вещественную часть $w$ и получить то, что Вам нужно.

[oxid]

мат-ламер в сообщении #842723 писал(а):

Найдите $t$ из этого выражения. Если по условию требовалось, то проверьте его на действительность (учитывая единичный модуль $z$).

Мне к тому же надо в тригонметрической форме решить ;)

Получается вот что
$$t=\frac{z-1}{z+1}\cdot(-i)

$$ t= \frac{(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)-1)\cdot(-i)} {\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)+1} = \frac{-i\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)(\cos(\varphi)+1)}

Кажется я вообще куда-то не в ту сторону иду..

[Otta]

oxid в сообщении #842752 писал(а):

Кажется я вообще куда-то не в ту сторону иду..

Да, слишком усложняете жизнь.
Работайте с мнимыми и вещественными частями отдельно.
А $z$ хорошо написали, так и надо.

[oxid]

Опять какая-то ерунда
$it=\frac{\cos(\varphi)-1}{\cos^2(\varphi)+\cos(\varphi)} + \frac{i\sin(\varphi)}{\cos^2(\varphi)+\cos(\varphi)}
$t=\frac{(\cos(\varphi)-1)(-i)}{\cos^2(\varphi)+\cos(\varphi)} + \frac{\sin(\varphi)}{\cos^2(\varphi)+\cos(\varphi)}
Т.к t не комплексное число ( пос уловию), то приравниваем мнимую часть к 0
И получается что \varphi = 0 + 2\pi \cdot k но действительная чатсь тогда всегда будет 0.

[Otta]

Боже ж мой, как Вам трудно жить. ))
Пишите $z(1-ti)=1+ti$. Подставляйте $z$ в триг. форме. Далее по тексту. Вам очень хочется возиться с дробями?

[oxid]

Спасибо! Так считать проще ;))
Но получается все равно тоже самое, что косинус всегда должен быть 1, а синус 0, это противоречит условию, что можно представить любое число..
(\cos(a)+i\sin(a))(1-ti)=1+ti
\cos(a)+\sin(a)t+i(t\cos(a)+\sin(a))=1+ti

Получаем систему уравнений
\begin{cases} \cos(a)+\sin(a)t=1\\ t\cos(a)+\sin(a)=t \end{cases}

\sin(a)=t(1-\cos(a)) \cos(a)+t^2(1-\cos(a))=1 \cos(a)(1-t^2)=1-t^2 \cos(a)=1 \sin(a) = 0

[мат-ламер]

oxid в сообщении #842752 писал(а):

Кажется я вообще куда-то не в ту сторону иду..

А почему не туда? (Правда я не проверял). Я вначале написал, что $t$ вероятно действительное. Но у Вас оно получилось чисто мнимое. Может так и надо. В том смысле, что эти преобразования (прямое и обратное) дают взаимно однозначное отображение единичной окружности и мнимой оси.

[Otta]

oxid

oxid в сообщении #842804 писал(а):

Получаем систему уравнений

Пересчитайте. И вам не синус-косинусы надо искать, $z$ фиксировано, а $t$, наоборот.

[oxid]

t по условию вещественное.

[provincialka]

Если уж решать "в лоб", надо правильно провести счет. В этой цепочке

oxid в сообщении #842752 писал(а):

$$ t= \frac{(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)-1)\cdot(-i)} {\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)+1} = \frac{-i\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)(\cos(\varphi)+1)}$$

последнее равенство неверное. Выражение получается вполне вещественным. Поделите аккуратнее!