Счётное подпокрытие интервала интервалами

[kp9r4d]

Правда ли, что из любого покрытия интервала $I$ системой интервалов $A_x$ можно выделить счётное подпокрытие? Вроде как правда, ведь каждый интервал $A_x$ с иррациональными концами $(a,b)$ можно заменить счётной системой интервалов $(q_n,p_n)$ таких что $q \to a, p \to b$ при $n \to \infty$, $q_n,p_n$ рациональны и $(q_n,p_n) \subset (a,b)$. После этого система $A_x$ содержится в системе всех интервалов с рациональными концами, которая счётна. Правильно ли это?

[Narn]

Утверждение правильно, а доказательство ваше неверное: заменять интервалы исходного покрытия на другие нельзя, это противоречит определению подпокрытия.

[patzer2097]

в Вашем рассуждении плохо то, что $(p_n, q_n)$ не обязаны принадлежать $A_x$.

а само утверждение доказать легко: для отрезка Вы, наверное, знаете, как его доказывать; а интервал - это объединение счетного числа отрезков.

[kp9r4d]

Если мы построили счётное покрытие $(p_n,q_n)$ интервала, причём $(p_n,q_n)$ из «испорченной» системы, то выбрав для каждого $(p_n,q_n)$ интервал $(a_n,b_n) \in A_x$, такой, что $(p_n,q_n) \subset (a_n,b_n)$ (а такой всегда найдётся по построению) мы получим честное подпокрытие «старой» системы $A_x$.

-- 27.03.2014, 23:45 --

patzer2097 в сообщении #842046 писал(а):

а само утверждение доказать легко: для отрезка Вы, наверное, знаете, как его доказывать; а интервал - это объединение счетного числа отрезков.

Точно ведь. Спасибо.

[kp9r4d]

Не буду плодить темы. А правда ли, что из любой системы отрезков $E_\alpha$ покрывающей какое-то множество $X$ можно выделить счётное подпокрытие? Идея доказательства, которую использовал я должна работать и тут, но всё же я не уверен, что то док-во (с предыдущей поправкой) правильное.

[provincialka]

Что есть отрезок? Например, $[0;0]$?
Что есть "любое множество"? Квадрат подойдет?

[kp9r4d]

$[0,0]$ тоже отрезок. Множества я рассматриваю только на прямой.

-- 28.03.2014, 07:47 --

Не, $[0,0]$ пусть лучше будет не отрезок.

[Someone]

kp9r4d в сообщении #842129 писал(а):

Не, $[0,0]$ пусть лучше будет не отрезок.

Правильно, не надо называть отрезком одноточечное множество.

kp9r4d в сообщении #842073 писал(а):

А правда ли, что из любой системы отрезков $E_\alpha$ покрывающей какое-то множество $X$ можно выделить счётное подпокрытие?

Да.

kp9r4d в сообщении #842073 писал(а):

Идея доказательства, которую использовал я должна работать и тут

Идею эту использовать можно, но для покрытий отрезками она недостаточна. Нужны ещё дополнительные построения.

[kp9r4d]

Someone
Понятно. Но мне, в принципе, можно обойтись и интервалами.

Я бы хотел ещё один вопрос задать на ту же тему.
Прошу проверить мой вариант доказательства Теоремы Лебега о плотности. Моё доказательство отличается лишь в конце от увиденного мною в учебнике, но, тем не менее, в два раза короче чем там. (Окстоби «Мера и категория», с.37)

Теорема:
Для любого измеримого множества $E \subset R$ имеем $m(E \triangle \varphi(E))=0$.
$\varphi(E) = \{x \in \mathbb{R} : \lim_{h\to 0} \frac{m(E \cap [x-h,x+h])}{2h} = 1\}$
Доказательство:
Достаточно доказать, что $E \setminus \varphi(E)$ имеет меру нуль, так как $\varphi(E) \setminus E\subset E' \setminus \varphi(E')$ и $E'$ измеримо. Можно считать, что $E$ ограничено.
Далее, $E \setminus \varphi(E) = \bigcup_{\varepsilon > 0} A_\varepsilon$, где

$$A_\varepsilon = \{x \in E : \varliminf\limits_{h \to 0} \frac{m(E \cap [x-h,x+h]}{2h} < 1 - \varepsilon \}$$

Таким образом достаточно показать, что $A_\varepsilon$ — нуль-множество при любом $\varepsilon > 0$. Положив $A = A_\varepsilon$, мы придем к противоречию с предположением,
что $m^*(A) > 0$. Если $m^*(A)>0$, то найдется ограниченное открытое множество $G$, содержащее $A$, и такое, что $m(G) < m^*(A)/(1-\varepsilon)$. Обозначим через $D$ класс всех таких замкнутых интервалов $I$, что $I \subset G$. и $m(E \cap I) \leqslant (1-\varepsilon)|I|$. Заметим, что (i) $D$ содержит сколь угодно малые интервалы вокруг каждой точки из $A$ и (ii) для любой последовательности $\{I_n\}$ непересекающихся элементов из $D$ справедливо неравенство $m^*(A \setminus \bigcup I_n)>0$. С другой же стороны, из системы отрезков $D$ можно выделить счётное подпокрытие $\{X_n\}$ множества $\bigcup D$, которое будет заодно и покрытием $A$, а значит, $m^*(A\setminus X_n)=m^*(\emptyset)=0$, что вступает в противоречие с (ii).

(Оффтоп)

Как писать нижний предел и разность множеств по-людски?

[RIP]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #842258 писал(а):

Как писать нижний предел и разность множеств по-людски?

Нижний предел — \varliminf ($\varliminf\limits_{x\to0}f(x)$) либо \liminf ($\liminf\limits_{x\to0}f(x)$). Разность множеств — \setminus, как ни странно ($A\setminus B$).

[kp9r4d]

(Оффтоп)

RIP, спасибо.