Дельта функция Дирака.

[PHT]

$\delta \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \infty ,\;x = 0, \hfill \\ 0,\;x \ne 0. \hfill \\ \endgathered} \right.$
$x_0 = 0$ - носитель дельта функции.
Известно, что $\int\limits_{ - \infty }^\infty {\delta \left( x \right)dx} = 1$.
Чему равен интеграл $\int\limits_{ - a}^0 {\delta \left( x \right)dx} $, где $a$ - конечная величина?
На сколько я помню $\int\limits_a^b {\delta \left( x \right)dx} = \left\{ \begin{gathered} 1,\;if\;0 \in \left[ {a,b} \right], \hfill \\ 0,\;if\;0 \notin \left[ {a,b} \right]. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Но мне надо это уточнить.

[Brukvalub]

PHT писал(а):

$\delta \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \infty ,\;x = 0, \hfill \\ 0,\;x \ne 0. \hfill \\ \endgathered} \right.$

Это неверно. Почитайте вот это: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%B0

[PHT]

Brukvalub писал(а):

PHT писал(а):

$\delta \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \infty ,\;x = 0, \hfill \\ 0,\;x \ne 0. \hfill \\ \endgathered} \right.$

Это неверно. Почитайте вот это: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%B0

Спасибо за ссылку.
Но чему, все-таки, равен интеграл $\int\limits_{ - a}^0 {\delta \left( x \right)dx} $?

[RIP]

PHT писал(а):

Но чему, все-таки, равен интеграл $\int\limits_{ - a}^0 {\delta \left( x \right)dx} $?

А ничему он не равен. Он не определён, по крайней мере, с точки зрения математики (может быть, в физике он чему-нибудь и равен: у физиков всё не как у людей). Дельта-функция определена только на бесконечно дифференцируемых функциях, а Вы пытаетесь её применить к разрывной функции (если интерпретировать написанный Вами "интеграл" как

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\chi_{[-a;0]}(x)\,dx$$

). Это всё равно, что определить $S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k$ для $n\in\mathbb N$, а потом спросить, чему равно $S_{\sqrt\pi}$.

Добавлено спустя 5 минут 5 секунд:

И вообще, на самом деле в равенстве

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\,dx=f(0)$$

слева ничего не интегрируется. Этот "интеграл" --- это просто обозначение для $f(0)$.

[LynxGAV]

Brukvalub писал(а):

PHT писал(а):

$\delta \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \infty ,\;x = 0, \hfill \\ 0,\;x \ne 0. \hfill \\ \endgathered} \right.$

Это неверно.

Это неверно, но тем не менее именно такому формальному операторному "определению"-соотношению учат физиков (не только каких-то отсталых, но и теоретиков, кстати, тоже). Далее после этого начинают выписывать т.н. свойства дельта-функции, первым из которых идет аналог её мат. определения. То, что функция Дирака на самом деле функционал, по большей части умалчивается (к счастию, мне удалось просветиться по этому поводу).

Поэтому, PHT, если Вы физик и решаете физическую задачу, то советую повторить "свойства" в любом учебнике по теор. физике (например, в конце 1-го тома "Курса теоретической физики" Левича). Что касается Вашего интеграла, то он не определен (надо рассматривать открытый интервалу (a,b), иначе функция будет иметь разрыв)...

[PHT]

LynxGAV, спасибо. Вот страница из рекомендуемой Вами книги:

Тут как раз есть описание дельта функции с точки зрения физики.
Казалось бы на мой вопрос дает ответ формула (III,1), но там неравенства строгие, то есть $a$ или $b$ не могут быть равными нулю . Однако, перед формулой (III,3') (которая является более общей по отношению к (III,1), в которой $f(x)=const$, а $x_0=0$) сказано, что $x_0$ должна быть включена в интервал интегрирования чтобы интеграл не был равен нулю (нет ли тут противоречия?).
Из физических соображений, применимых к моей задаче, этот интеграл нулю равняться не должен. Но чему он должен равняться, мне пока, из физических соображений, не видно.

[LynxGAV]

Лучше всего определить (если верите на слово) $ \int\limits_0^a \delta(x) dx=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}, \ a>0, \\ -\frac{1}{2}, \ a<0 \end{array} \right $.

Если вспомню, где нормально об этом говорится, то допишу (собственно, по-немногу и поглубже о дельта-функции есть во всех достойных учебниках по мат. физике, особенно хорошо посмотреть Владимирова).

[От себя: не пойму, каким боком в физической задаче такой интеграл возникает, должно было бы быть "произведение".]

[Андрей123]

Если понимать интеграл как предел интегралов некоторого дельта-образного семейства, то он получится равным $1/2$

[Henrylee]

Андрей123 писал(а):

Если понимать интеграл как предел интегралов некоторого дельта-образного семейства, то он получится равным $1/2$

А почему именно $1/2$? По-моему можно построить дельта-образное семейство функций такое, что предел таких интегралов может оказаться равен любому числу из $(0,1)$.

[Андрей123]

Да, был неправ.

[PHT]

Что, если рассмотреть интеграл для функции $f_\varepsilon \left( x \right)$, которая при $\varepsilon \to 0$ образует дельта-образную последовательность. Например, при $\varepsilon \to 0$
$f_\varepsilon \left( x \right) = \frac{1}{\pi }\frac{\varepsilon }{{x^2 + \varepsilon ^2 }} \to \delta \left( x \right)$
[стр.53-54 из И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов "Обобщенные функции и действия над ними"].
Тогда $\int\limits_a^b {f_\varepsilon \left( x \right)} =\frac{1}{\pi }\left( {arctg\frac{b}{\varepsilon } - arctg\frac{a}{\varepsilon }} \right)$. Если $b = 0$, $a < 0$, то при $\varepsilon \to 0$, этот интеграл стремится к $\frac{1}{2}$ . Если $b > 0$, $a = 0$, то при $\varepsilon \to 0$, этот интеграл тоже стремится к $\frac{1}{2}$.
В таком случае интеграл $\int\limits_{ - a}^0 {\delta \left( x \right)dx} = \int\limits_0^b {\delta \left( x \right)dx} = \frac{1}{2}$ .

[Henrylee]

Если симметричные плотности брать, то $1/2$, а можно ведь и нет.

[SergeyGubanov]

PHT в сообщении #92666 писал(а):

Чему равен интеграл $\int\limits_{ - a}^0 {\delta \left( x \right)dx} $, где $a$ - конечная величина?

Я бы так сделал. Подставил

$$ \delta(x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos (p x) \, dp $$

в формулу

$$ \int\limits_{-a}^0 \delta(x) \, dx = \int\limits_{-a}^0 \left( \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos (p x) \, dp \right) dx $$

Затем поменял бы очерёдность интегрирования. Сначала интегрирование по $x$, а затем интегрирование по $p$:

$$ \int\limits_{-a}^0 \delta(x) \, dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-a}^0 \cos (p x) \, dx \right) dp = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(a p)}{p} \, dp = \frac{1}{2} \operatorname{sign}(a) $$

[Lia]

SergeyGubanov, замечание за некропостинг.

Тема вполне исчерпана здесь: post93067.html#p93067