Диофантово уравнение 9x^4+16y^4=z^2

[scwec]

Докажите, что уравнение $9x^4+16y^4=z^2$ имет бесконечно много решений в целых положительных числах. Конечно, $x,y$ взаимно просты.

[nnosipov]

Это же любимый наш сюжет --- про конгруэнтные числа (а именно, число $6$).

[scwec]

Совсем нет. Конечно, это задача для nnosipov, однако, он здесь не угадал. Это с ним редко случается.

[Коровьев]

scwec в сообщении #839390 писал(а):

Совсем нет. Конечно, это задача для nnosipov, однако, он здесь не угадал. Это с ним редко случается.

Почему нет?
Задача элементарно приводится к эл.уравнению
$$v^2=u^3-6^2u$
Так что nnosipov прав.

[Коровьев]

Добавлю.
Рассмотрим эквивалентное эл.уравнение
$$ z^2 = x^4 + 9 $
$$ z^2 = \left( {tx^2 - 3} \right)^2 = t^2 x^4 - 6tx^2 + 9 = x^4 + 9 $
$$ x^2 = \frac{{6t}}{{t^2 - 1}} = \frac{{6^2 \left( {6t} \right)}}{{\left( {6t} \right)^2 - 6^2 }} \equiv s\left( {s^2 - 6^2} \right) $

[scwec]

Это всё так. Но я бы хотел решения без применения эл. кривых. И потом задать ещё один вопрос.
Доказать, что $\dfrac{x}{y}$ может быть сколь угодно большим.

[scwec]

Имелось в виду, что решения уравнения можно находить следующим образом.
Пусть уравнение $ax^4+t^4=z^2\qquad(1)$ имеет целочисленное решение $x=u\ne{0},t=v\ne{0},z=w$.
Обозначим $Y=|v^4-au^4|,X=2uvw$.
Тогда $aX^4+Y^4=(v^8+6au^4v^4+a^2u^8)^2=Z^2$.
Таким образом, $x=X,t=Y,z=Z$ тоже целочисленное решение для $(1)$. Дальше по такой же схеме.
Доказывается, что среди таких решений нет одинаковых.
В нашем случае $a=9,t=2y$ и начальное решение $x=1,y=1,z=5$.
Следующее $x=40,y=7,z=4804$ и т. д.
Доказательство неограниченности $\dfrac{x}{y}$ оставляю пока открытым.
p.s. В отношении nnosipov у меня не было слова не прав. (Тем более, похожую тему мы с ним действительно уже обсуждали). Не угадал - вот что было сказано. Думаю, он на меня не обиделся.

[scwec]

Закрываю вопрос о неограниченности $\dfrac{x}{y}$
Докажем, что если $9x^4+16y^4=z^2\qquad(1)$, где $x,y,z$ натуральные числа, то
$\dfrac{x}{y}$ может быть как сколь угодно большой величиной, так и сколь угодно малой.
Для этого приведем $(1)$ к кубическому уравнению двумя способами.
1. После замены $X=\dfrac{x}{2y},Y=\dfrac{z}{4y^2}$, $(1)$ переходит в $9X^4+1=Y^2\qquad(2)$
и замена $X=\dfrac{2w}{u^2-36}, Y=\dfrac{u^2+36}{u^2-36}$ переводит $(2)$ в $w^2=u^3-36u\qquad(3)$

2. После замены $X=\dfrac{y}{x},Y=\dfrac{z}{x^2}$, $(1)$ переходит в $X^4+9=Y^2\qquad(4)$
и замена $X=\dfrac{6w}{u^2-36}, Y=\dfrac{3(u^2+36)}{u^2-36}$ переводит $(4)$ в $(3)$

Докажем, что величина $u$ (также как и $w$) для рациональных точек $(3)$ не ограничена сверху.
Рассмотрим на кривой $(3)$ последовательность рациональных точек $\{P_i=(u_i,w_i)\}$ такую, что $P=\left(\dfrac{25}{4},\dfrac{35}{8}\right)$ и $P_i=2^{i-1}P, i=1,2,....$
Все $u_i$ в этой последовательности квадраты, сл-но они больше нуля и все различны, поскольку $P$ не точка кручения.
Если $\{P_i\}$ не ограничена сверху т.е $u_i$ может быть сколь угодно велико, то всё доказано.
Предположим, ограничена.Тогда на кривой $(3)$ найдется точка $Q=(u_p,w_p)$ (не обязательно рациональная), к которой сходится некоторая подпоследовательность $\{{P_{i_k}}\}$ последовательности $\{P_i\}$.
Проводя секущую через точки $(u_{i_{k-1}},w_{i_{k-1}})$ и $(u_{i_k},-w_{i_{k}})$ находим $(\tilde u_k,\tilde w_k)$ -третью точку пересечения этой секущей с кривой $(3)$.
Если уравнение секущей $w=au+b$,то $a^2=u_{i_{k-1}}+u_{i_k}+\tilde u_k$. Поскольку $a$ не ограничены сверху (секущие сходятся к прямой $u=u_p$), то не ограничены и $\tilde u_k$. (Замечу, что точки $(\tilde u_k,\tilde w_k)$ не обязаны принадлежать последовательности $\{P_i\}$).
Применяя неограниченность $u$ в п.1. получаем, что $\dfrac{x}{2y}=X=\sqrt{\dfrac{2u}{u^2-36}}$ и $\dfrac{x}{y}$ может быть сколь угодно мало.
Применяя неограниченность $u$ в п.2. получаем, что $\dfrac{y}{x}$ может быть сколь угодно мало, следовательно, $\dfrac{x}{y}$ сколь угодно велико.

[nnosipov]

scwec в сообщении #851238 писал(а):

Закрываю вопрос о неограниченности $\dfrac{x}{y}$

Где-то я что-то подобное видел. Кажется, в какой-то статье по матлогике, как ни странно.

[scwec]

Схожие мотивы в статье R.M.Robinson по поводу всюду плотного множества рациональных точек кривой $y^2=x^3-2$. В сборнике Мальцевского семинара "Алгебра и логика" 1963 год.
Видимо, это Вы и вспомнили.

[nnosipov]

Точно, именно эта статья.