Расстояние от точки до пространства

[Tigran-aminator]

Есть многомерное пространство. Дана точка и некое подпространство этого многомерного пространства. Как найти растояние между точкой и подпространством? Есть ли такое понятие, или я его сам придумал? Где об этом можно прочитать?

[svv]

Точка — это вектор $a$. Подпространство обозначим $L$. Для каждого вектора $b\in L$ можно найти $|a-b|$. Инфимум и будет расстоянием от $a$ до $L$. А достигается он на таком векторе $b\in L$, для которого $(a-b, b)=0$.

[Tigran-aminator]

svv, общие рассуждения понятны. А есть ли где-то готовые формулы на случайно многомерного пространства?

[ИСН]

Формулы чего от чего? Нет, ну первое "чего" понятно - это искомое расстояние. А от чего?

[svv]

ИСН
Ну, как: подставляешь в формулу букву $L$, а формула выдает: 2 метра. Подставил вместо $L$ буковку $M$, а формула сразу: 5 метров. Вот чего-то такого бы.

[Munin]

Подпространство (линейное) можно задать системой линейных уравнений. В этом случае есть конкретная формула для вычисления того расстояния, которое интересует ТС.

Наиболее просто эта формула выглядит для 1-мерного подпространства (прямой) и для $n-1$-мерного (гиперплоскости, копрямой).

[ИСН]

Munin, в Вашем знании волшебных слов никто не сомневается, но я-то хотел их вытянуть из топикстартера.

[svv]

Munin в сообщении #841652 писал(а):

копрямой

Замечено: Вы любите «ко-».

[Munin]

svv в сообщении #841659 писал(а):

Замечено: Вы любите «ко-».

Нихт! Просто я про него знаю. И уточняю для любителей :-)
Если честно, меня Арнольд к ней немного приучил. Гораздо удобней сказать "коразмерность $k$", чем "размерность $n-k$".

ИСН
Я сомневаюсь, что топикстартер знает волшебные слова, поэтому хотел натолкнуть его на уточнение содержания вопроса.

[ratay]

Munin, то, что вы писали, конечно правильно. Но как
вариант, можно, наверное, предварительно преобразовать
координаты так, чтобы n-1 осей координат лежали в
гиперплоскости. В плане вычислений это, пожалуй, то же
самое, но мысленно представить схему будет проще.

[мат-ламер]

Tigran-aminator в сообщении #841601 писал(а):

А есть ли где-то готовые формулы на случайно многомерного пространства?

В книгах по линейной алгебре (Гельфанд) встречается. Также в книгах по регрессионному анализу (типа МНК). В случае, если в подпространстве задан ортогональный базис, то можно почитать про ряды Фурье.
Также можно поставить и решить соответствующую задачу конечномерной оптимизации.

[Munin]

ratay в сообщении #841743 писал(а):

В плане вычислений это, пожалуй, то же самое

Сильно не уверен.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

В чем прелесть матричной алгебры.
Пространство $X=\mathbb{R}^m$ снабжено метрикой с матрицей Грамма $G$. Плоскость $P\subset X$ задана оператором $A:X\to\mathbb{R}^k,\quad \mathrm{rang}\, A=k\le m$ и радиус-вектором $a\in X$ а именно: $P=a+\ker A.$

Утв. Вектор опущеный под прямым углом на плоскость $P$ из точки с радиус-вектором $b$ выражается формулой

$$G^{-1}A^T(AG^{-1}A^T)^{-1}A(a-b)$$

[Tigran-aminator]

Munin, а где можно познакомиться с формулами расстояния от точки до подпространства, когда подпространство заданно системой линейных уравнений?

[svv]

Tigran-aminator, эта формула в предыдущем сообщении Oleg Zubelevich.