Теория вероятностей. Задача о пирожных

[amoral10]

Продаются 5 сортов пирожных. Покупатель покупает 4 пирожных. Считая, что любой набор пирожных равновероятный, найти вероятность того, что два пирожных будут одного сорта, а два - другого.

Я понимаю, что всех возможностей выбрать 4 пирожных из 5 сортов, есть сочетания с повторениями из 5 по 4: $\bar{C}_5^4=C_8^4=\frac{8!}{4!4!}=70$ (это есть число всех возможных исходов).

Как посчитать число благоприятных исходов? Если бы нужно было выбрать два пирожных разных сортов, то это было бы $C_5^2=10$. Но здесь пирожных нужно взять 4, а сортов должно быть только два, причем 3 пирожных одного сорта, а одно - другого - не благоприятный исход (кстати, а как найти вероятность, что три пирожных одного сорта, а одно другого?).

Может, кто-то может навести примеры аналогичных задач с решением в интернете? Или еще как то подсказать?

[provincialka]

amoral10 в сообщении #840969 писал(а):

Если бы нужно было выбрать два пирожных разных сортов, то это было бы $C_5^2=10$.

Вот и хорошо. На бумажках записываете все 10 вариантов, тянете жребий, а потом покупаете те пирожные, которые указаны на бумажке, но только по 2 экземпляра. А по "3 + 1" - не покупаете.

[amoral10]

То есть, число вариантов $2C_5^2$? ок, а как в таком случае посчитать вероятность "3+1"?
В идеале, конечно, было бы круто узнать, как можна записать общую формулу, когда нужно из 5 сортов выбрать, например, $n$ пирожных так, чтобы $k$ - одного сорта, а $n-k$ - другого. Я вот этого не могу понять. Потому что вероятность для "2+2" из 5 я подсчитал, выписав все варианты на листике бумаги, а вот общий ключ к такой задаче не могу подобрать.

[provincialka]

Так, а зачем вы на 2 умножали? Это (умножать) как раз для "3 + 1" нужно, так как "3 эклера и 1 безе" не то же, что "1 эклер и 3 безе". А вот "2 эклера и 2 безе" совершенно то же, что "2 безе и 2 эклера"

[toliktkm]

Поправьте меня...Но можно ли в такой задаче рассуждать вот так по дилетантски?
Допустим, что у нас есть урна, в которой лежит N пирожных(пусть 50...По k=10 каждого сорта, чтобы равновероятно было). Мы достаем 4. Какова вероятность, что 2 из них будут одного, а 2 - другого. Я думаю, что если записать все формулы, то там N=50 и k=10 сократятся...Я бы даже сказал, что я просто уверен в этом. Но ТерВер помню уже плохо.

[provincialka]

Первая поправка: формулы надо оформлять с помощью $\TeX$.
Ответ: нет, не сократится. Например, будем брать пирожные по-очереди, сорта обозначим по номеру появления. Первое пирожное - некоторое с вероятностью 1. Далее могут быть варианты $(1, 2, 2)$, $(2, 1, 2)$, $(2, 2, 1)$.
Рассчитаем вероятность первого. Она равна $1\cdot\frac{9}{49}\cdot\frac{40}{48}\cdot\frac{9}{47}$. Две другие вероятности будут такими же. Итак, вероятность события "2 + 2" равна $\frac{405}{4606}\approx 0,088$.
При больших $n$ вероятность будет стремиться к $\frac{12}{125}$. Кстати, ваша задача даже в предельном случае не равносильна исходной (так как варианты наборов у вас не будут равновероятны)

[gris]

Конечно абсолютно точно они не сократятся, но чем больше $N=5k$, тем ответ для любого небольшого по размеру сочетания будет ближе к некоторому предельному значению, когда вероятность достать из корзины определённый вид пирожного будет постоянна и равна $1/5$.

Упс. поспешил отправить. А то ли сказал? В задаче слова: "любой набор пирожных будет равновероятен". Это немного нехорошо. Если все пирожные, например, имеют уникальный номер, то хорошо, а если пирожные одного сорта неразличимы, то это вообще невыполнимо.

[amoral10]

мне кажется, что задача, предложенная toliktkm будет равносильна исходной, если условится, что после каждого вынимания шара, мы будем фиксировать его цвет (прывычнее говорить о шарах разных цветов в урне), а потом класть обратно. Я даже уверен в этом.

[provincialka]

Расчет показывает обратное. В вашем варианте событие "2 + 2" имеет вероятность $\frac17$, а в варианте toliktkm - $\frac{12}{125}$. Еще один случай: все шары одного цвета - вероятность $5\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{125}$. Все пирожные одного сорта - вероятность $\frac{5}{70}=\frac{1}{14}$.

[gris]

Можно, кстати, создать и авторскую ситуацию. Предположим, что пирожные продаются упакованными по 4 штуки, так, что равночисленно представлены все наборы.
Ну, например, если в корзине поровну красных и белых шаров, то вероятность взять два разноцветных будет близка к половинке. А вот если шары упакованы в пары так, чтобы все (неупорядоченные) варианты КК, КБ, ББ были равновероятны, то ответ будет иным.

[amoral10]

К provincialka: вероятность зафиксировать четыре шара одного цвета, та же, что и взять 4 пирожных одного сорта, так как число всех элементарных событитий этого эксперимента равно числу сочетаний с повторениями из 5 по 4 (поскольку есть 5 разных цветов): $\bar{C}_5^4=70$. Возможностей выбрать один цвет $C_5^1=5$. Таким образом, вероятность, что все четыре шара одного цвета:
$\frac{5}{70}=\frac{1}{14}$

Задачу о шарах можна даже еще упростить: в урне 5 шаров разного цвета. четыре раза вынимают шар, фиксируют его цвет, и кладут обратно. Какая вероятность зафиксировать три шара одного цвета, и один другого? (или два шара одного цвета, а два другого?)

[provincialka]

amoral10, нет, ваше рассуждение неверно. Хотя вариантов и 70, но в задаче о шарах они не равновероятны.
Я даже на всякий случай провела численный эксперимент. И действительно, все "шары" одного цвета получаются примерно в $\frac{1}{125}$ доле случаев.

[amoral10]

А, ну да, я уже понял разницу между задачами о шарах и пирожных. Задачу о пирожных можно перефразировать в терминах шаров как: есть шары пяти цветов. выбирают 4 шара. Считая, что любые наборы шаров равновероятны, найти вероятность, что будет три шара одного цвета, а один - другого. (или, два шара одного цвета, и два - другого)

[toliktkm]

(Оффтоп)

Вот за что я люблю математиков. Думал, что меня за такое трактование задачи закидают тухлыми помидорами...А тут вот прям серьёзно так отнеслись и на ошибки все указали...Прям человеком себя чувствуешь...

Ну и раз уж тут такие люди добрые...
А если перефразировать задачу так.
У нас есть четырёхзначное число вида abcd. Каждая из букв может принимать значения от 1 до 5. Надо найти отношение количества чисел вида mmnn, mnmn и mnnm к общему числу возможных комбинаций?

[--mS--]

А это совсем другая задача. В ней число равновозможных вариантов, если (как подразумевается обычно по умолчанию) каждая буква выбирается с равными шансами от 1 до 5 независимо от прочих, будет $5^4$, а не $C_8^4$.