Как использовать формулу E=-gradφ?

[yonkis]

Даны 2 точки электростатического поля (1 и 2). Нужно рассчитать напряженность по формуле $\vec{E}=-\operatorname{grad} \varphi$ .

С понятием градиента встречаюсь в первый раз, в курсе математики мы этого еще не проходили, но в лабораторной по физике встретилось, нужно разобраться.
Насколько я понял, нужно, для начала, составить функцию $\varphi (x,y,z)$ и вычислить градиент по формуле $\operatorname{grad}\varphi =\frac{\delta \varphi }{\delta x}\vec{i}+\frac{\delta \varphi }{\delta y}\vec{j}+\frac{\delta \varphi }{\delta z}\vec{k}$.
Но как составить функцию $\varphi (x,y,z)$?
(В моем случае координаты $z$ не будет)

[DimaM]

yonkis в сообщении #841038 писал(а):

Но как составить функцию $\varphi (x,y,z)$?

Изолинии этой функции проведены на вашем рисунке. Правда, больно редко.

[yonkis]

DimaM в сообщении #841041 писал(а):

yonkis в сообщении #841038 писал(а):

Но как составить функцию $\varphi (x,y,z)$?

Изолинии этой функции проведены на вашем рисунке. Правда, больно редко.

Но как с их помощью функцию составить я не понимаю, объясните пожалуйста

[Munin]

Вам не нужно записывать эту функцию в виде формулы. Достаточно указать какие-то значения функции в каких-то точках. Вот в точках изолиний функция и принимает те значения, которые соответствуют изолиниям.

-- 26.03.2014 18:28:41 --

Задача, на самом деле, вот на что. У понятия "градиент" есть свойства. Подробнее вы их изучите в курсе математики, а сейчас вам достаточно знать такое.

Если есть скалярная функция $u(x,y),$ и известны её изолинии, то вектор $\mathbf{v}(x,y)=\operatorname{grad}u(x,y)$ в каждой точке изолиний:
- перпендикулярен изолинии;
- направлен в сторону возрастания $u(x,y)$ (здесь внимательно, в формуле $\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi$ стоит знак минус, поэтому будет в сторону убывания);
- и по величине равен $\Delta u/d,$ где $\Delta u$ - разность значений $u(x,y)$ на разных изолиниях, а $d$ - расстояние между изолиниями (геометрическое, в метрах или в чём там).
Формула эта приближённая, и становится точной, если изолинии проводить бесконечно часто и бесконечно близко одна к другой. По сути, эта формула подобна $\Delta f/\Delta x$ в определении производной. По сути, градиент - это и есть такая производная, одна из разновидностей производной в многомерном пространстве.

Если бы у нас было трёхмерное пространство, то вместо изолиний были бы изоповерхности, а градиент был бы по-прежнему вектором, перпендикулярным такой поверхности.

И ещё. Для красоты, стрелочки над векторами системы координат можно писать так: \vec{\imath},\vec{\jmath}, $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}).$

[yonkis]

Munin в сообщении #841057 писал(а):

Вам не нужно записывать эту функцию в виде формулы. Достаточно указать какие-то значения функции в каких-то точках. Вот в точках изолиний функция и принимает те значения, которые соответствуют изолиниям.

мне известно, что в точке 1 значение функции равно 2.5, а в точке 2 равно 5, но как рассчитать градиент?
спасибо, теперь понял

[Munin]

И в формуле градиента "круглые производные" пишутся с помощью значка \partial:
$\operatorname{grad}\varphi=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\mathbf{i}+\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}\mathbf{j}+\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}\mathbf{k}$
Путать не стоит, при том, что $\delta$ для обозначения специфических дифференциалов и производных тоже иногда используется (в физике чаще всего - приращение разных величин, и вариационная производная).

[yonkis]

Спасибо за замечания, буду знать.
То есть в моем случае нужно считать по формуле $\vec{E}=\frac{\Delta \varphi }{d}$? Но зачем тогда мне сказали использовать формулу градиента, если можно считать по известной всем формуле...

[Munin]

Вряд ли вам сказали считать именно по формуле
$\operatorname{grad}\varphi=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\mathbf{i}+\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}\mathbf{j}+\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}\mathbf{k},$
скорее, вам сказали считать по формуле $\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi,$ а вот сам градиент можно "найти графически", как я описал.

Впрочем, если сомнения берут, - можно уточнить у преподавателя.

-- 26.03.2014 18:57:26 --

yonkis в сообщении #841071 писал(а):

То есть в моем случае нужно считать по формуле $\vec{E}=\frac{\Delta \varphi }{d}$? Но зачем тогда мне сказали использовать формулу градиента, если можно считать по известной всем формуле...

Простите, это вы $\vec{E}=\frac{\Delta\varphi}{d}$ называете "известной всем формулой"? Прошу заметить, что эта формула не то что не известна, а её вообще нет. Потому что слева в ней вектор, а справа скаляр. Есть формула $E=\Delta\varphi/d$ (скалярная!), но она применима только в однородном электрическом поле, при условии, что $d$ измеряется вдоль поля. А то, что я вам описал, - более общая процедура.

[yonkis]

Вы правы, как раз по формуле $\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi,$ и сказали. Спасибо за подробное объяснение!

[Munin]

А втихаря почитайте главу про градиент в учебнике матанализа, забегая вперёд. И про его свойства, и про смысл, и про способы вычисления. Если чего-то будет не хватать - можно и в учебнике по физике. Например, в Тамме в приложениях, кажется, хорошее сжатое изложение.

[yonkis]

Еще один небольшой вопрос касательно этой лабораторной работы. В ней должен быть пункт "Расчет погрешностей измерений" (с указанием метода расчета погрешностей). Как в этой работе мне найти погрешность измерений? Погрешность измерений чего? (найденной напряженности?)
P.S. До этого в лабораторных работах мне приходилось делать измерения несколько раз, а затем использовать формулу: $\Delta \sigma =\alpha S$, где $\alpha $ - коэффициент Стьюдента. (Вопрос: как грамотно называется этот метод расчета?)
Применительно к этой л.р. мне нужно взять еще несколько точек и через них найти напряженность и использовать эту же формулу?