Группа нечетного порядка

[corvus42]

masterflomaster в сообщении #839892 писал(а):

Что делать с единичным?

Цитирую вас же: $(g^0)^2 = g^0 = e$. Я тут вижу квадрат, а вы?

masterflomaster в сообщении #839892 писал(а):

Как всё привести к общему виду?

Достаточно не приводить всё к частному. В школе тоже дают уравнения -- с ним играются, что-то переносят в разные стороны, делают одинаковые операции над обеими частями... и получают решение. Тут так же. У вас есть $g^{2n+1}=e$. Цель -- показать, что $g={\text{что-то}}^2$.

(Оффтоп)

masterflomaster в сообщении #839892 писал(а):

$\langle g^{2} \rangle$ состоит из $e, g^{2}, g^{-2}$. Верно?

По определению, $\langle g^2\rangle$ должна содержать все степени $g^2$. У вас все?

masterflomaster в сообщении #839892 писал(а):

т.е всегда получаем элементы из множества ${g^{-2}, g^{-1}, g^{0}, g^{1}, g^{2}}$.

Да, если мы напишем $g^{-2}, g^{-1},\ldots, g^{2}$ то мы получим элементы из множества $g^{-2}, g^{-1},\ldots, g^{2}$

[provincialka]

1. Единичный элемент является квадратом самого себя.
2. А зачем вы используете отрицательные степени? По-моему, это не удобно.
Вот разберем ваш пример группы порядка 5. Ее элементы - $e,g,g^2,g^3,g^4$, причем $g^5=e$.
Квадратом чего является $g^{2k}$? А квадратом чего является $g^{2k+1}$? Учтите, что $g^{2k+1}=g^{2k+1}\cdot g^5$.

Впрочем, это рассуждение подходит только для циклических групп. Лучше сделайте так: равенство $g^n=g^{2m+1}=e$ умножьте на $g$.

[masterflomaster]

В условиях нашей задачи введем следующие обозначения: $G$ - наша конечная группа нечетного порядка $2k + 1$, где $k\in N$, т.е. $\#G = 2k + 1$. Также для любого элемента $a \in G$ выполняется условие $a^{\#G} = a^{2k + 1} = e$, где $e$ - единичный элемент группы. Докажем теперь, что любой элемент группы $G$ является квадратом другого элемента группы:
$a^{2k+1} = e |\cdot a$
$a^{2k+2} = ae $
$a^{(k+1)^{2}} = a $

А как доказать однозначность?

[AV_77]

Во-первых, у вас последнее равенство неправильно записано. А во-вторых, сюръективное отображение конечного множества на себя является инъективным.