Для положительных

,

и

докажите, что:
![$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{a+b+c-\sqrt[3]{abc}}$$ $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{a+b+c-\sqrt[3]{abc}}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/0/af0256a5c441f896583cddf84dacedb182.png)
Это неравенство заменой переменных можно свести к эквивалентному неравенству:
![${\frac{1+x+x^a-3\sqrt[3]{x^{a+1}}}{1+x+x^a-\sqrt[3]{x^{a+1}}}\geq\frac{B} {A}}$ ${\frac{1+x+x^a-3\sqrt[3]{x^{a+1}}}{1+x+x^a-\sqrt[3]{x^{a+1}}}\geq\frac{B} {A}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e181351f500f87ffd3b6565fc9a31582.png)

Числитеь дроби обозначаем (B), а знаменатель (A). Тогда неравенство примет вид:
![$[(A-B)(1+x+x^a)]^3\geq x^{a+1}(3A-B)^3$ $[(A-B)(1+x+x^a)]^3\geq x^{a+1}(3A-B)^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/1/291a21852270f016ef486214dfd0db5082.png)
Далее вольфрам выдаёт результат: сумма положительных слагаемых положительна.
Для четырёх переменных вольфрам в лоб отказывается кушать, просит частями. Но это очень страшненько, хотя интересно, что получится. (Правда, вольфрам показал, что структура меняется: правая часть неравенства не раскладывается на множители; я думаю, что это происходит из-за изменения свойств радикалов, т.е. теряется их периодичность).
В качестве обобщения можно найти верхнюю границу исходного неравенства и обобщить на большее количество переменных. У меня получается пока для частного случая:

, когда они имеют вид

. Тогда верхняя граница находится легко.