Множество пронумерованных и неповторяющихся элементов

[Dandy]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с обозначениями в теории множеств. Вот проблема:

В некоторой учебной системе имеется база задач $Z$ - неупорядоченное множество всех задач (всего их m), которые могут предлагаться ученикам:

$Z = \{z_i : 1 \le i \le m\}$

Из этих задач составляются задания - упорядоченные наборы задач, причем задачи в одном задании пронумерованы и не могут повторяться. Вопрос - как описать задание (обозначим его $Z_k$ и пусть в нем n задач)?

Пока я придумал такой вариант, посмотрите, пожалуйста:

$Z_k = (z_1,...,z_n), 1 \le n \le m\ , \forall (i \neq j) z_i \neq z_j$

[arseniiv]

А где же у вас там пронумерованность? Задачи разные, упорядоченные — да, есть.

Кстати, вы не сказали, какие свойства должны быть у нумерации, так что, даже если бы она там была, кроме вас никто не смог бы определить, правильно ли это.

[Dandy]

Цитата:

Задачи разные, упорядоченные — да, есть

Уточню: упорядоченность круглыми скобками показывается? (Я из этой темы topic34760.html понял так.)

Цитата:

Кстати, вы не сказали, какие свойства должны быть у нумерации

Нумерация должна быть простая: от единицы до n. То есть надо как-то однозначно поставить каждому $z_i$ в соответствие натуральное число. Как это показать? Как я понимаю, надо отношение с множеством натуральных чисел установить.

[arseniiv]

Dandy в сообщении #839446 писал(а):

Уточню: упорядоченность круглыми скобками показывается?

Да.

Dandy в сообщении #839446 писал(а):

Нумерация должна быть простая: от единицы до n. То есть надо как-то однозначно поставить каждому $z_i$ в соответствие натуральное число. Как это показать?

Тогда лучше никак: задачи упорядочены, нумерация восстанавливается по этому кортежу единственным образом. Если сильно нужна нумерация, лучше отказаться от упорядоченности (она по такой нумерации, конечно же, тоже восстанавливается однозначно) — тогда получится функция из $\{1,\ldots,n\}$ в $Z$. Функция — это тоже множество, множество всех пар $(x,y)$ таких, что $f(x) = y$ и $x\in\operatorname{dom}f$.

[provincialka]

Да, упорядоченный набор обозначается круглыми скобками. Про нумерацию не очень понятно. Порядок элементов в наборе задается их порядком , т.е. как они друг за другом выписаны. Вы же используете индексы для различения элементов:

Dandy в сообщении #839425 писал(а):

$Z = \{z_i : 1 \le i \le m\}$

. Это два разных порядка. Наверное, вам лучше использовать двойные индексы: индекс задает конкретный элемент, номер этого индекса - порядок в списке.

[Dandy]

arseniiv в сообщении #839448 писал(а):

Тогда лучше никак: задачи упорядочены, нумерация восстанавливается по этому кортежу единственным образом.

То есть в моей изначальной записи в круглых скобках нумерация от 1 до n предполагается сама собой, и можно ничего не добавлять? Про функцию понял, спасибо.

provincialka в сообщении #839450 писал(а):

Вы же используете индексы для различения элементов:

Dandy в сообщении #839425 писал(а):

$Z = \{z_i : 1 \le i \le m\}$

. Это два разных порядка.

Стоп. В Z у меня нет никакого порядка, это же просто множество? Я индекс написал, просто чтобы показать, что во множестве m элементов. Я сделал это не так?

[arseniiv]

Забыл добавить: инъективная функция (инъекция) — функция, которая не принимает больше одного раза каждое своё значение. И, так как функция и инъективность — это понятия очень распространённые, достаточно будет просто написать:

$$Z_k\colon\{1,\ldots,n\}\to Z;\;Z_k\text{ — инъекция.}$$

Dandy в сообщении #839453 писал(а):

То есть в моей изначальной записи в круглых скобках нумерация от 1 до n предполагается сама собой, и можно ничего не добавлять?

Только не забудьте предупредить читателя, каким способом будет обозначаться $i$-й элемент из $(a,\ldots,z)$, т. к. общепринятого обозначения этого, вроде, пока не наблюдается (можно индекс нижний приписывать, но это всё равно не самоочевидно). При использовании функции такого не возникнет, можно будет легко и просто написать $Z_k(3)$ — 3-я задача из $Z_k$. Множество (неупорядоченное) задач $Z_k$ тоже легко получить, если понадобится, это ведь просто образ $\operatorname{im} Z_k$ (внимание, не область значений!).

(Если написано много очевидного, скажите, а то просто ваш уровень неизвестен. )

[provincialka]

Dandy в сообщении #839453 писал(а):

Стоп. В Z у меня нет никакого порядка, это же просто множество?

Ну, его нет, но можно ведь и ввести? Один из способов описания конечного множества - с помощью списка (!) его элементов. Если вы обозначите элементы множества через $z_i$, то список различных его элементов можно будет описать в виде $(z_{k_1},z_{k_2}, ..., z_{k_m}), k_i\ne k_j$ при $i\ne j$

[Dandy]

arseniiv в сообщении #839459 писал(а):

(Если написано много очевидного, скажите, а то просто ваш уровень неизвестен. )

Мой уровень -- новичок, так что чем подробнее, тем лучше.

arseniiv в сообщении #839459 писал(а):

Забыл добавить: инъективная функция (инъекция) — функция, которая не принимает больше одного раза каждое своё значение. И, так как функция и инъективность — это понятия очень распространённые, достаточно будет просто написать:

$$Z_k\colon\{1,\ldots,n\}\to Z;\;Z_k\text{ — инъекция.}$$

А вот это интересно! Правильно я понимаю, что такая инъекция по сути реализует выбор n задач из Z, причем без повторов? (Аж хочется в терминах баз данных спросить...)

arseniiv в сообщении #839459 писал(а):

Dandy в сообщении #839453 писал(а):

То есть в моей изначальной записи в круглых скобках нумерация от 1 до n предполагается сама собой, и можно ничего не добавлять?

Только не забудьте предупредить читателя, каким способом будет обозначаться $i$-й элемент из $(a,\ldots,z)$, т. к. общепринятого обозначения этого, вроде, пока не наблюдается (можно индекс нижний приписывать, но это всё равно не самоочевидно). При использовании функции такого не возникнет, можно будет легко и просто написать $Z_k(3)$ — 3-я задача из $Z_k$.

Я склоняюсь к функции теперь, запись $Z_k(i)$ для ссылки на i-ю задачу в некотором $Z_k$ выглядит более чем удобной.

Dandy в сообщении #839453 писал(а):

Множество (неупорядоченное) задач $Z_k$ тоже легко получить, если понадобится, это ведь просто образ $\operatorname{im} Z_k$ (внимание, не область значений!).

Ну, этого не нужно -- если задачи для некоторого задания выбраны, то их порядок терять уже не надо.

[arseniiv]

Dandy в сообщении #839468 писал(а):

Правильно я понимаю, что такая инъекция по сути реализует выбор n задач из Z, причем без повторов?

Но только упорядоченный — тогда да, каждой инъекции соответствует то, что в комбинаторике называется размещение (в общем, его ей и определяют в нормальных курсах). Если же выбрать $m$ задач без повторений и без какого-то фиксированного порядка, получится сочетание, а «на языке множеств» это будет подмножество мощности $m$. Тут тоже, каждое подмножество однозначно задаёт один такой выбор.

Dandy в сообщении #839468 писал(а):

(Аж хочется в терминах баз данных спросить...)

(Кстати, «математическая» формулировка баз данных имеется (и давно) — реляционная алгебра.)